교집합

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집합 AB의 교집합을 표현한 벤 다이어그램.

집합론에서 두 집합 A, B교집합(交集合, 영어: intersection) AB는 그 두 집합이 공통으로 포함하는 원소로 이루어진 집합이다.

예를 들어, 두 집합 {★, ●, ◆}, {●, ◆, ♥}의 교집합은 {●, ◆}이다. 두 집합에 교집합을 취하면 아무 원소도 남지 않게 되는 경우도 있다. 짝수홀수의 집합의 교집합이 공집합인 것이 그 예이다. (서로소 집합)

셋 이상의 집합, 나아가 무한히 많은 집합들에게도 교집합을 취할 수 있다. 집합 여럿의 교집합은 동시에 그들 모두의 원소인 대상들을 모아놓은 집합과 같다.

벤 다이어그램에서, 교집합은 여러 원의 겹친 부분으로 표현된다(오른쪽 그림).

집합을 공리화한 ZFC에서, 두 집합, 또는 '임의의' 교집합의 존재성은 분류 공리꼴에 의해, 유일성은 확장 공리에 의해 보장된다.

교집합이 대수적 연산으로서 만족하는 성질은 집합대수 문서에 수록되어있다(유한 개 집합에 대한 연산에 한한다).

정의, 예시[편집]

AB
ABC

두 집합 A, B의 교집합은 AB로 표기되며, A에도 속하고 B에도 속하는 원소들을 골라놓은 집합을 뜻한다. 즉

또는

xAB필요충분조건xA 또한 xB

아래는 두 집합의 교집합의 예이다.

  • 두 집합 {1, 2}, {2, 3}의 교집합은 {2}이다.
  • 2의 배수(짝수)와 3의 배수의 집합의 교집합은 6의 배수의 집합이다.
  • 서로소인 두 집합, 이를테면 유리수, 무리수 집합의 교집합은 공집합이다.

여럿의 교집합[편집]

(유한 개, 가산 개를 포함한) 임의의 개수의 집합의 교집합은 그들 모두에 동시에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 여러 개의 집합, 예를 들어 A, B, C, D, E의 교집합은 그들 사이사이에 교집합 기호를 써 표시한다.

각각의 집합에 첨수(예를 들어 양의 정수 1, 2, ...)를 부여해 대형 연산자를 통해 나타내는 방법도 있다. 예를 들어

는 각각 A1, A2, A3, A4, A5의 교집합, B1, B2, ...의 교집합, Ci (iI, I첨수집합, I ≠ Ø)의 교집합을 나타낸다. 이때

가 성립한다.

만약 이 공집합 아닌 집합이며, 집합을 원소로 한다면, 의 교집합 (임의의 교집합, 영어: arbitrary intersection)은 의 모든 원소에 동시에 속하는 대상으로 이루어진 집합이다. 즉

공리적 집합론[편집]

ZF/C, 즉 선택공리를 더하거나 더하지 않은 체르멜로-프렝켈 집합론에서는, 임의의 집합 A, B에 대해, A에서 B의 원소만을 걸러낸 집합 C분류 공리꼴에 따라 항상 존재한다, 즉

확장 공리에 의해 이러한 집합 C는 유일하다. 즉 임의의 두 집합의 교집합은 ZF/C에서 유일하게 존재한다.

임의의 교집합의 존재성과 유일성도 비슷하게 보일 수 있다.

같이 보기[편집]