순서수 정의 가능 집합

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집합론에서, 순서수 정의 가능 집합(順序數定義可能集合, 영어: ordinal-definable set)은 유한 개의 순서수를 포함하는 1차 논리 공식으로 정의할 수 있는 집합이다.

정의[편집]

다음 성질을 만족시키는 집합 순서수 정의 가능 집합이라고 한다.

  • 순서수 및 순서수의 유한열 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식 이 존재하며, 이다.

순서수 정의 가능 집합의 고유 모임라고 한다.

계승적 순서수 정의 가능 집합(繼承的順序數定義可能集合, 영어: hereditarily ordinal-definable set)은 모든 부분집합이 계승적 순서수 정의 가능 집합인 순서수 정의 가능 집합이다. 계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임라고 한다.

성질[편집]

계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론모형이다. (계승적) 순서수 정의 가능 집합의 성질은 절대적이지 않다. 즉, 순서수 정의 가능 집합이 내부 모형에서는 더 이상 순서수 정의 가능하지 않을 수 있다.

만약 구성 가능성 공리를 가정한다면, 모든 집합은 계승적 순서수 정의 가능 집합이다.

모든 집합이 (계승적) 순서수 정의 가능 집합이라는 공리는 보통 또는 로 쓴다. 이 공리는 (구성 가능성 공리와 달리) 거의 모든 알려진 큰 기수 공리와 무모순적이며, 또한 선택 공리를 함의한다.[1]

역사[편집]

쿠르트 괴델이 1946년에 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Mycielski, Jan (2006년 2월). “A system of axioms of set theory for the rationalists” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 206–213. Zbl 1102.03050. 
  2. Gödel, Kurt (1946). 〈Remarks before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics〉. Solomon Feferman, John Dawson, Stephen Kleene. 《Kurt Gödel: Collected Works, vol. II》 (영어). Oxford University Press. 150–153쪽.