집합론에서, 어떤 모임
에 대한
-계승적 집합(繼承的集合, 영어: sets hereditarily in
)은
에 속하며, 그 모든 원소도
에 속하며, 그 원소의 원소 등등 역시
에 속하는 집합이다.
집합
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 부분 집합
에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.
![{\displaystyle \forall x\in X\colon (x\in S\iff x\subseteq S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d513a60a672c7a09a14dcf8b2f79fe17ff71bd7)
![{\displaystyle \textstyle S=\left\{x\in X\colon x\cap \bigcup x\cup \bigcup \bigcup \cup \cdots \subseteq X\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b3618b2234b1db62d054847d09b3ded646ac84)
의 추이적 부분 집합들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합의 최대 원소이다.
이 조건을 만족시키는 부분 집합
는 유일하며, 이를
로 표기하자.
의 원소는
-계승적 집합(영어: sets hereditarily in
)이라고 한다.
보다 일반적으로, 임의의 모임
에 대하여, 마찬가지로
-계승적 집합들의 모임
을 정의할 수 있다. 그러나
가 고유 모임이더라도
는 집합일 수 있다.
다음이 성립한다.[1]
![{\displaystyle H_{\aleph _{1}}\subseteq V_{\omega _{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3d02076ff776c44f40b5e12c38ed8546680e1f)
즉, 계승적 가산 집합의 계수는
미만이다.
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ab618edad8a19bae7b5babb82ec359d14de825) |
집합? |
설명
|
모든 집합의 모임 ![{\displaystyle \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16771fd1a4471c4bc25c7f40de9cca25fffbb38) |
![{\displaystyle V=\operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef033e5a557d49c203847dab90a244764229fb9e) |
고유 모임 |
폰 노이만 전체 (정칙성 공리를 가정할 경우)
|
추이적 집합 ![{\displaystyle T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (T)=T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cb5938509aabb8efe41c9b4e80a62bd13df3f0) |
집합
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기수 에 대하여, 크기 미만의 집합들의 모임
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![{\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\kappa })=H_{\kappa }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617807d4a820095b0e6266ff0c005e2c1ae85286) |
집합 |
계승적 -미만 집합들의 집합
|
유한 집합들의 모임 ![{\displaystyle \operatorname {Set} _{<\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f3c928f48c07549f1e51c8efd399239638218b) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\aleph _{0}})=H_{\aleph _{0}}=V_{\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c528c9f4bbb7bcb4e8b1ea36a414255509ddb3e8) |
집합 |
계승적 유한 집합(繼承的有限集合, 영어: hereditarily finite set)들의 집합. 폰 노이만 전체의 단계 와 같다
|
가산 집합들의 모임 ![{\displaystyle \operatorname {Set} _{<\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f3c928f48c07549f1e51c8efd399239638218b) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\aleph _{1}})=H_{\aleph _{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8316c65acd6192b01e76cf931eb1691c2d72e2a5) |
집합 |
계승적 가산 집합(繼承的可算集合, 영어: hereditarily countable set)들의 집합
|
추이적 집합들의 모임 ![{\displaystyle \operatorname {transSet} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ddc3e5374e939afdab1e231354ba07f7429ce0) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {transSet} )=\operatorname {Ord} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf53b50c292b7efc1370dd2066b3ad855e1cc53) |
고유 모임 |
(폰 노이만 정의에서의) 순서수의 모임
|
![{\displaystyle \{\varnothing \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d88961ba4645aaf8771d403b9b5ec7a0989125c) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (\{\varnothing \})=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a790375c7fb680c934b18beaf79a47e5a8566689) |
집합
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![{\displaystyle \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (\varnothing )=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3cf5562d55d40a51852cd4bdf97213f8c33f2b) |
집합
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순서수 정의 가능 집합 ![{\displaystyle \operatorname {OD} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed975e934097165a79bd59516b2b552e2db2939) |
![{\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {OD} )=\operatorname {HOD} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af32eb5614541cdc40000835f2abdbbddb1c6eff) |
고유 모임 |
계승적 순서수 정의 가능 집합(영어: hereditarily ordinal-definable set)
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