집합론에서, 어떤 모임 에 대한 -계승적 집합(繼承的集合, 영어: sets hereditarily in )은 에 속하며, 그 모든 원소도 에 속하며, 그 원소의 원소 등등 역시 에 속하는 집합이다.
집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 부분 집합 에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.
- 의 추이적 부분 집합들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합의 최대 원소이다.
이 조건을 만족시키는 부분 집합 는 유일하며, 이를 로 표기하자.
의 원소는 -계승적 집합(영어: sets hereditarily in )이라고 한다.
보다 일반적으로, 임의의 모임 에 대하여, 마찬가지로 -계승적 집합들의 모임 을 정의할 수 있다. 그러나 가 고유 모임이더라도 는 집합일 수 있다.
다음이 성립한다.[1]
즉, 계승적 가산 집합의 계수는 미만이다.
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집합? |
설명
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모든 집합의 모임 |
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고유 모임 |
폰 노이만 전체 (정칙성 공리를 가정할 경우)
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추이적 집합 |
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집합
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기수 에 대하여, 크기 미만의 집합들의 모임
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집합 |
계승적 -미만 집합들의 집합
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유한 집합들의 모임 |
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집합 |
계승적 유한 집합(繼承的有限集合, 영어: hereditarily finite set)들의 집합. 폰 노이만 전체의 단계 와 같다
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가산 집합들의 모임 |
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집합 |
계승적 가산 집합(繼承的可算集合, 영어: hereditarily countable set)들의 집합
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추이적 집합들의 모임 |
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고유 모임 |
(폰 노이만 정의에서의) 순서수의 모임
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집합
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집합
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순서수 정의 가능 집합 |
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고유 모임 |
계승적 순서수 정의 가능 집합(영어: hereditarily ordinal-definable set)
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참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]