계승적 집합

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집합론에서, 어떤 모임 에 대한 -계승적 집합(繼承的集合, 영어: sets hereditarily in )은 에 속하며, 그 모든 원소도 에 속하며, 그 원소의 원소 등등 역시 에 속하는 집합이다.

정의[편집]

집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 부분 집합 에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.

  • 추이적 부분 집합들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합최대 원소이다.

이 조건을 만족시키는 부분 집합 는 유일하며, 이를 로 표기하자. 의 원소는 -계승적 집합(영어: sets hereditarily in )이라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 모임 에 대하여, 마찬가지로 -계승적 집합들의 모임 을 정의할 수 있다. 그러나 고유 모임이더라도 집합일 수 있다.

성질[편집]

다음이 성립한다.[1]

즉, 계승적 가산 집합의 계수 미만이다.

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집합? 설명
모든 집합의 모임 고유 모임 폰 노이만 전체 (정칙성 공리를 가정할 경우)
추이적 집합 집합
기수 에 대하여, 크기 미만의 집합들의 모임 집합 계승적 -미만 집합들의 집합
유한 집합들의 모임 집합 계승적 유한 집합(繼承的有限集合, 영어: hereditarily finite set)들의 집합. 폰 노이만 전체의 단계 와 같다
가산 집합들의 모임 집합 계승적 가산 집합(繼承的可算集合, 영어: hereditarily countable set)들의 집합
추이적 집합들의 모임 고유 모임 (폰 노이만 정의에서의) 순서수의 모임
집합
집합
순서수 정의 가능 집합 고유 모임 계승적 순서수 정의 가능 집합(영어: hereditarily ordinal-definable set)

각주[편집]

  1. Jech, Thomas (1982년 3월). “On hereditarily countable sets”. 《The Journal of Symbolic Logic》 (영어) 47 (1): 43–47. doi:10.2307/2273380. ISSN 0022-4812. JSTOR 2273380. 

외부 링크[편집]