상 (수학)

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수학에서, (像, 영어: image)은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, 영어: preimage) 또는 역상(逆像, 영어: inverse image)은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다.

정의[편집]

정의역, 공역인 함수 를 생각하자.

정의역의 원소 의, 함수 에 대한 은 공역의 원소 이다.

정의역의 부분집합 의, 함수 에 대한 은 공역의 부분집합 이다.

공역의 원소 의, 함수 에 대한 원상은 정의역의 부분집합 이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분집합이라는 데 주의하자.

공역의 부분집합 의, 함수 에 대한 원상은 정의역의 부분집합 이다.

정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

성질[편집]

함수 및 정의역의 부분집합들 및 정의역의 부분집합들의 족 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

  • 합집합의 상은 상의 합집합과 같다.
  • 교집합의 상은 상의 교집합에 포함된다.
  • 차집합의 상은 상의 차집합을 포함한다

또한 공역의 부분집합들 및 공역의 부분집합들의 족 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

  • 합집합의 원상은 원상의 합집합이다.
  • 교집합의 원상은 원상의 교집합이다.
  • 차집합의 원상은 원상의 차집합이다.