러셀의 역설

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러셀의 역설(-逆說, Russell's paradox)은 수학자 버트런드 러셀1901년 발견한 논리역설프레게의 논리체계와 칸토어소박한 집합론이 모순을 지닌다는 것을 보여준 예이다. 그 대략적인 내용은 다음과 같다.

M이라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, AM의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 AA의 원소가 아닌 것으로 한다. 칸토어의 공리체계에서 위와 같은 정의로 집합 M은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 M이 자기 자신을 원소로 포함하는가?란 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 M이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에는 다시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 "MM의 원소이다"라는 명제와 "MM의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다.

프레게의 공리체계에서 M은 "자신을 정의하는 개념에 포함되지 않는다(not fall under its defining concept)"라는 개념(concept)에 해당한다. 따라서, 프레게의 체계 역시 모순을 낳는다.

역사[편집]

러셀이 정확히 언제 이 역설을 발견했는지는 확실하지 않지만, 아마도 1901년 5월이나 6월경 특정 영역의 개체의 수는 그 개체의 하등계급 수보다 작다는 칸토어의 법칙에 대한 연구를 하다가 발견한 것으로 보인다.[1]

러셀의 역설과 소박한 집합론(naïve set theory)[편집]

칸토어가 세상에 내어 놓은 집합론은 러셀의 역설과 같은 서술이 논리적으로 참인지 거짓인지를 판별할 수 있는 강력한 수학이론이다. 이러한 소박한 집합론에서 아무 원소를 포함하지 않는 공집합을, ψ = { } 로 표시하는데,  이러한 공집합을 표현할 수 있는 서술 방법은 무한히 많다.   예를 들어 { x | x=1 and x≠1 } = ψ, 러셀의 역설에서 가정하는 집합은 수학적 대상은 아니지만, 소박한 집합론에서 공집합의 원소는 될 수 있다. 공집합에 자신을 원소로 포함시키는 과정을 되풀이하면, ψ, {ψ}, {ψ, {ψ}},….  되고, 자연수가 도출된다. 다른 수학이론의 기초가 되고, 함수를 정의할 수 있으면, 또한 무한한 대상들을 다룰 수 있는 유일한 방법을 제공한다.  그래서, 수학자 힐버트는 칸토어의 집합론이 이끄는 세계를 수학자의 낙원이라고 묘사했다. 

소박한 집합론에서 ‘소박한’은 후대 수학자들이 칸토어가 발견한 집합론을 공리 집합론(axiomatic set theory)과 구분 짓기 위해 붙인 것이다.  ‘naïve’ 란 단어를 ‘소박한’이라고 긍정적으로 해석했지만, ‘덜 성숙된’, ‘생각이 얕은’ 이런 느낌의 단어이다.   칸토어의 집합론에 그런 단어를 붙여 부르는 것이 옳은지는 의문이다.

천재 칸토어는 집합론을 세상에 내어 놓으면서 다른 한편으로는 제논의 역설 이후 금기 시 되어온 무한의 개념을 집어 들었다.  당연히 엄청난 부담감을 느꼈을 것이다.  그리고 조심스럽게 무한한 집합을 분류하기 시작했다.  그리곤, 당시 수학자들로부터 엄청난 반발을 불러일으켰다.  동년배인 수학자 푸앙카레는 칸토어의 집합론과 무한 수를 심각한 수학 질병이라고 불렀고, 칸토어에게 중요했던 선배 수학자 크로네커는 그를 과학 사기군, 배교자, 젊은이를 지적 타락으로 이끄는 자라고 매도 했다.  철학자들도 이러한 비난에 가세했고, 성직자들은 그의 시도를 신에 대한 심각한 도전으로 여겼다. 그리고, 러셀의 역설과 베른의 역설과 같은 역설들이 쏟아져 나온다.

한편, 그의 당대 일부 수학자들은 칸토어 집합론의 공리화를 시작한다. 유클리드의 원론(elements) 에 나오는 그 공리화 방법론을 집합론에 도입한 것이다.  집합론을 체계화 시킨 측면도 있지만,.  러셀의 역설을 비롯한 역설들이 주장하는 칸토어 집합론이 지닌 모순들을 극복하기 위해 시작되었다는 점에서 문제의 소지도 있다. 오직 이러한 역설들을 극복하기 위해 도입된 계급의 공리(Axiom of class)는 그 필요성이 의문일 뿐 만 아니라, 칸토어의 집합론에 심각한 제약을 가한다.

응용 방면과 관련 주제[편집]

러셀의 역설은 거짓말쟁이의 역설과 깊은 관련이 있다. 러셀은 유형이론을 바탕으로 모순을 해결하였다.

참고 문헌[편집]