화이트헤드 문제

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군론집합론에서, 화이트헤드 문제(영어: Whitehead problem)는 정수 계수의 1차 Ext 함자자명군인 아벨 군이 항상 자유 아벨 군인지에 대한 문제다. 통상적인 집합론 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)와 독립적이다.

정의[편집]

화이트헤드 문제는 다음 두 조건을 만족시키는 아벨 군 가 존재하는지 여부를 묻는다.

  • 자유 아벨 군이 아니다.

두 번째 조건은 아벨 군아벨 범주에서의 Ext 함자에 대한 조건으로, 풀어 쓰면 다음과 같다.

  • 임의의 아벨 군 전사 군 준동형 에 대하여, 만약 라면, 군 준동형 가 항상 존재한다.

두 번째 조건을 만족시키는 군을 화이트헤드 군(영어: Whitehead group)이라고 한다.

성질[편집]

모든 자유 아벨 군은 화이트헤드 군이다. 화이트헤드 군의 부분군은 화이트헤드 군이다. 가산 비자유 화이트헤드 군은 존재하지 않는다.[1]

비가산 비자유 화이트헤드 군의 존재 여부는 사용하는 집합론에 따라 달라진다.

이들 이론의 무모순성은 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성과 동치이므로, 만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면 화이트헤드 문제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 또한, 나아가 화이트헤드 문제는 (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) 체르멜로-프렝켈 집합론 + 선택 공리 + 일반화 연속체 가설과도 독립적이다.

역사[편집]

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1950년대에 이 문제를 제기하였다. 1951년에 카를 슈타인(독일어: Karl Stein)은 모든 가산 화이트헤드 군이 자유 아벨 군임을 증명하였다.[1]

1974년에 사하론 셸라흐는 크기가 인 군에 대한 화이트헤드 문제가 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적임을 보였고,[2] 이듬해에 구성 가능성 공리를 가정하면 어떠한 크기의 비자유 화이트헤드 군도 존재하지 않음을 보였다.[3] 셸라흐는 1977년~1980년에 화이트헤드 문제가 일반화 연속체 가설을 추가로 가정하여도 역시 독립적임을 보였다.[4][5]

참고 문헌[편집]

  1. Stein, Karl (1951). “Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 123: 201–222. ISSN 0025-5831. MR 0043219. doi:10.1007/BF02054949. 
  2. Shelah, S. (1974). “Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 18 (3): 243–256. ISSN 0021-2172. MR 0357114. doi:10.1007/BF02757281. 
  3. Shelah, S. (1975). “A compactness theorem for singular cardinals, free algebras, Whitehead problem and transversals”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 21 (4): 319–349. ISSN 0021-2172. doi:10.1007/BF02757993. 
  4. Shelah, S. (1977). “Whitehead groups may not be free, even assuming CH. I”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 28 (3): 193–203. ISSN 0021-2172. MR 0469757. doi:10.1007/BF02759809. 
  5. Shelah, S. (1980). “Whitehead groups may not be free, even assuming CH. II”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 35 (4): 257–285. ISSN 0021-2172. MR 0594332. doi:10.1007/BF02760652. 
  • Eklof, Paul C. (1976). “Whitehead’s problem is undecidable”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 83 (10): 775–788. JSTOR 2318684. doi:10.2307/2318684. 

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