화이트헤드 문제

군론과 집합론에서 화이트헤드 문제(영어: Whitehead problem)는 정수 계수의 1차 Ext 함자가 자명군인 아벨 군이 항상 자유 아벨 군인지에 대한 문제다. 통상적인 집합론 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)와 독립적이다.

정의

화이트헤드 문제는 다음 두 조건을 만족시키는 아벨 군 $A$가 존재하는지 여부를 묻는다.

• $A$는 자유 아벨 군이 아니다.
• $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,\mathbb {Z} )\cong 0$

두 번째 조건은 아벨 군의 아벨 범주에서의 Ext 함자에 대한 조건으로, 풀어 쓰면 다음과 같다.

• 임의의 아벨 군 $B$ 및 전사 군 준동형 $f\colon B\to A$에 대하여, 만약 $\ker f\cong \mathbb {Z}$라면, $f\circ g=\operatorname {id} _{A}$인 군 준동형 $g\colon A\to B$가 항상 존재한다.

두 번째 조건을 만족시키는 군을 화이트헤드 군(영어: Whitehead group)이라고 한다.

성질

모든 자유 아벨 군은 화이트헤드 군이다. 화이트헤드 군의 부분군은 화이트헤드 군이다. 가산 비자유 화이트헤드 군은 존재하지 않는다.

비가산 비자유 화이트헤드 군의 존재 여부는 사용하는 집합론에 따라 달라진다.

• 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 화이트헤드 군의 부재를 보일 수 있다.
• 체르멜로-프렝켈 집합론 + 마틴 공리 + 연속체 가설의 부정으로부터, 크기가 $\aleph _{1}$인 화이트헤드 군의 존재를 보일 수 있다.

이들 이론의 무모순성은 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성과 동치이므로, 만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면 화이트헤드 문제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 또한, 나아가 화이트헤드 문제는 (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) 체르멜로-프렝켈 집합론 + 선택 공리 + 일반화 연속체 가설과도 독립적이다.

역사

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1950년대에 이 문제를 제기하였다. 1951년에 카를 슈타인(독일어: Karl Stein)은 모든 가산 화이트헤드 군이 자유 아벨 군임을 증명하였다.

1974년에 사하론 셸라흐는 크기가 $\aleph _{1}$인 군에 대한 화이트헤드 문제가 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적임을 보였고, 이듬해에 구성 가능성 공리를 가정하면 어떠한 크기의 비자유 화이트헤드 군도 존재하지 않음을 보였다. 셸라흐는 1977년~1980년에 화이트헤드 문제가 일반화 연속체 가설을 추가로 가정하여도 역시 독립적임을 보였다.

참고 문헌

• Eklof, Paul C. (1976). “Whitehead’s problem is undecidable”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 83 (10): 775–788. doi:10.2307/2318684. JSTOR 2318684. 

외부 링크

• “Whitehead problem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.