Ext 함자

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호몰로지 대수학에서, Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 사상 함자(hom functor)의 유도 함자다.

정의[편집]

R이 (단위원을 가진) 이고, _R{}\operatorname{Mod}R에 대한 왼쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 두 (왼쪽) 가군 A,B\in{}_R\operatorname{Mod} 사이의 사상들의 집합 \hom(A,B)아벨 군을 이룬다. 즉, \hom\colon(_R\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 \operatorname{Ab}아벨 군들의 범주다.

또한, \hom 함자의 경우, \hom(A,\cdot)\colon{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}왼쪽 완전 함자(left-exact functor)이며, 따라서 그 오른쪽 유도 함자 R^i\hom(A,\cdot)를 취할 수 있다. 마찬가지로, \hom(\cdot,B)\colon({}_R\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자 L^i\hom(\cdot,B)를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

R^i\hom(A,B)=L^i\hom(A,B)=\operatorname{Ext}^i_R(A,B)

이다. 이 쌍함자 \operatorname{Ext}^i_R\colon({}_R\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}Ext 함자라고 한다.

성질[편집]

만약 M사영 가군이거나 N단사 가군이라면,

\operatorname{Ext}^n_R(M,N)=0\qquad\forall n>0

이다. 또한, 다음이 성립한다.

\operatorname{Ext}^n_R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\prod_{j\in J}N_j\right)\cong\prod_{i\in I}\prod_{j\in J}\operatorname{Ext}^n_R(M_i,N_j)

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벡터 공간[편집]

K 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 V의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

0\to V\to I^0=V\to0
0\to P^0=V\to V\to0

따라서, K 위의 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

\operatorname{Ext}^0_K(V,W)=\hom(V,W)
\operatorname{Ext}^n_K(V,W)=0\qquad\forall n>0

아벨 군[편집]

정수환 \mathbb Z 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군자유 아벨 군이며, 단사 가군분해가능군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G자유 아벨 군 P^0몫군 P^0/P^1으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

0\to G\to P^0\to P^1\to0

마찬가지로, 임의의 아벨 군 G분해가능군 I^0부분군으로 나타낼 수 있으며, 분해가능군의 모든 몫군은 분해가능군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다.

0\to G\to I^0\to I^1\to0

아벨 군 G, H가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. G의 사영 분해가 G\cong P^0/P^1이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체호몰로지 군이다.

0\to\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H) \xrightarrow{\operatorname{res}} \hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)\to0

여기서 \operatorname{res}\colon\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H)\to \hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)은 포함 사상 P^1\hookrightarrow P^0으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다. 따라서,

\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(G,H)

이며,

\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)/\operatorname{res}(\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H))

군의 확대

0\to H\to E\to G\to0

들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z}(G,H)=0\qquad\forall n\ge2

또한, 임의의 분해가능군 H에 대하여

\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)=0

이다. 특히, 유리수의 군 \mathbb Q나 그 몫군 \mathbb Q/\mathbb Z은 분해가능군이므로

\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q)=\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q/\mathbb Z)=0

이다.

\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)=\hom_{\operatorname{Ab}}(G,H)
G\backslash H \mathbb Z \mathbb Z/(n) \mathbb Q
\mathbb Z \mathbb Z \mathbb Z/(n) \mathbb Q
\mathbb Z/(m) 0 \mathbb Z/(\gcd\{m,n\}) 0
\mathbb Q 0 0 \mathbb Q
\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)
G\backslash H \mathbb Z \mathbb Z/(n) \mathbb Q
\mathbb Z 0 0 0
\mathbb Z/(m) \mathbb Z/(m) \mathbb Z/(\gcd\{m,n\}) 0
\mathbb Q \mathbb Q^{\oplus 2^{\aleph_0}} 0 0

어원[편집]

‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 G를 다른 아벨 군 H로 확대한다면, 가능한 확대들은 \operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)일대일 대응한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]