Ext 함자

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호몰로지 대수학에서, Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.

정의[편집]

Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.

대수학에서 가장 중요한 경우인 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.

완전열을 통한 정의[편집]

0차 Ext[편집]

임의의 아벨 범주 에 대하여, 0차 Ext 함자는 다음과 같은 사상군 함자이다.

1차 Ext[편집]

임의 아벨 범주 의 대상 에 대하여, 에 대한 확대(영어: extension of by )는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다.

(이 사상 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 베어 합(영어: Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.[2]:78, Definition 3.4.4 두 확대 , 가 주어졌을 때, 에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.

즉, 를 두 번 부분 대상으로 포함한다. 대각 사상 사용하여, 의 몫대상

을 정의할 수 있다. 이는 속에 존재하는 두 개의 를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

짧은 완전열을 이룬다. 동치류, 동치류베어 합(영어: Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 이며, 확대 의 베어 합에 대한 역원은 또는 이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

속의 대상 에 대하여, 1차 Ext 함자 에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자

를 정의한다. 또한, 각 에 대하여

는 둘 다 가법 함자를 이룬다.

위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.[3]:131, Exercise 6.A 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

고차 Ext[편집]

2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.[1][4][2]:79–80, Vista 3.4.6[5]:82–87, §III.5

아벨 범주 가 주어졌다고 하자. 속의 대상 , 에 대하여, 에 대한 확대(영어: -fold extension of by )는 다음과 같은 완전열이다.

차 확대 , 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 닮은 확대(영어: similar extension)라고 한다.

닮음 관계를 로 표기하자. 닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 차 확대 , 사이에 다음과 같은 차 확대들의

이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, 가 서로 동치라고 하자.

모든 에 대하여, 이거나 또는 이다.

사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[6]

  • 가 서로 동치이다.
  • 차 확대 가 존재한다.
  • 차 확대 가 존재한다.

그렇다면, Ext 함자 에 대한 차 확대들의 동치류 집합이다.

차 확대 , 가 주어졌을 때, 를 다음과 같이 정의하자.

  • 일 때, 에 대한 당김이다.
  • 일 때, 이다.
  • 일 때, 에 대한 이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 를 사용하여, 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 이다.

그렇다면 차 확대를 이룬다. 동치류동치류의 합을 동치류로 정의하자.

그렇다면, 이 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자

를 이루며, 각 에 대하여

둘 다 가법 함자를 이룬다.

요네다 합성[편집]

Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 의 대상 에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 아벨 군텐서곱이다.)

이는 를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성(영어: Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.[5]:82–87, §III.5

이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열

이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.

그렇다면 의 동치류와 의 동치류의 요네다 합성의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 위의 풍성한 범주 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • 의 대상은 의 대상과 같다.
  • 의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.
  • 에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
  • 에서 항등 사상은 에서의 항등 사상과 같다.

에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, 만 남으므로 원래 범주 를 얻는다.

특히, 대상 에 대하여, 에서의 자기 사상 등급 아벨 군

자연수 등급환을 이룬다.

유도 함자를 통한 정의[편집]

아벨 범주 속의 대상 에 대하여,

왼쪽 완전 함자이며,

오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 오른쪽 유도 함자Ext 함자라고 한다.

만약 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 왼쪽 유도 함자Ext 함자라고 한다.

이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 로 표기한다.

유도 범주를 통한 정의[편집]

Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다. 아벨 범주 가 주어졌다고 하자. 의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, 사슬 복합체 범주 충만한 부분 범주를 이룬다.

속의 사슬 복합체 에 대하여,

로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 이다.) 또한, 유도 범주국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, 의 두 대상 에 대한 Ext 함자유도 범주 의 다음과 같은 사상군이다.

(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)

성질[편집]

만약 사영 가군이거나 단사 가군이라면,

이다. 또한, 다음이 성립한다.

[편집]

벡터 공간[편집]

위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

따라서, 위의 벡터 공간 , 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

아벨 군[편집]

정수환 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군자유 아벨 군이며, 단사 가군나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 자유 아벨 군 몫군 으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

마찬가지로, 임의의 아벨 군 나눗셈군 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다.

아벨 군 , 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. 의 사영 분해가 이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체호몰로지 군이다.

여기서 은 포함 사상 으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다. 따라서,

이며,

군의 확대

들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

또한, 임의의 나눗셈군 에 대하여

이다. 특히, 유리수의 군 나 그 몫군 은 나눗셈군이므로

이다.

0 0
0 0
0 0 0
0
0 0

리 대수 코호몰로지[편집]

리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

어원[편집]

‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 를 다른 아벨 군 로 확대한다면, 가능한 확대들은 일대일 대응한다.

참고 문헌[편집]

  1. Yoneda, Nobuo (1954). “On the homology theory of modules”. 《Journal of the Faculty of Sciences of the University of Tokyo. Section I》 (영어) 7: 193–227. MR 0068832. 
  2. Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001. 
  3. Freyd, Peter John (1964). 《Abelian categories: An introduction to the theory of functors》. Harper’s Series in Modern Mathematics (영어). Harper and Row. Zbl 0121.02103. 
  4. Buchsbaum, David A. (1959년 9월). “A note on homology in categories” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) 69 (1). doi:10.2307/1970093. JSTOR 1970093. 
  5. MacLane, Saunders (1963). 《Homology》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 114. Springer. doi:10.1007/978-3-642-62029-4. Zbl 0133.26502. 
  6. Fritsch, Rudolf. “Ext à la Yoneda without the Schanuel lemma”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 57 (1): 39–42. doi:10.1090/S0002-9939-1976-0480701-6. JSTOR 2040857. MR 0480701. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]