역함수

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함수 와 그 역함수

수학에서, 역함수(逆函數, 문화어: 거꿀함수[1])란 어떤 함수가 있을 때, 그 함수의 결과값을 넣으면 원래 입력값이 나오는 역방향 함수이다.

수학적으로 표현하면, 에 대한 함수 에서 각 에 해당하는 의 값이 하나 뿐일 경우, 즉 전단사 함수일 경우에 이 함수의 역함수는 가 된다. 이때 이라는 기호에서 제곱표현이 아니다.

어떤 함수가 전단사 함수가 아닐 경우에도, 그 함수의 정의역을 제한하여 그 범위 내에서는 전단사 함수가 되게 한 다음 역함수를 정의하는 경우도 있다. 삼각함수의 역함수는 이러한 방식으로 정의된다. 예를 들어, 의 정의역이 실수 전체일 경우는 전단사 함수가 아니지만, 의 범위에서는 전단사 함수가 되고, 이 함수의 역함수 는 이 범위 내에서 정의된다.

표기[편집]

역함수의 방향성

역함수를 나타내는 기호는 과 같이 위첨자에 -1을 붙여 나타내는데, 이때 거듭제곱, 도함수 등에서도 비슷한 기호를 사용하기 때문에 혼동의 여지가 있다.

예를 들어, 와는 다른 의미를 가진다. 앞의 표기는 역함수를 나타내는 반면, 뒤의 표기는 역수를 나타낸다. 또한 이와 비슷하게, 삼각함수의 역함수를 의미하지만 는 단순히 을 나타낸다.

또한 이다.
또한 는 "역함수 에프" 또는 "에프 인벌스(inverse)"라고 읽는다.

이처럼 역함수는 곱셈연산의 역원이 아니라 그 연산의 역방향 전환이라는 점에서 근본적으로 차이가 있다. 그러므로 역함수는 연산의 역방향 연산인 역연산으로서 중요한 의미가 있다.

성질[편집]

  • 만약 어떤 함수의 역함수가 존재한다면, 그 역함수는 단 하나뿐이다.
  • 함수 f와 함수 g의 합성의 역함수는 g의 역함수와 f의 역함수의 합성과 같다. 즉, 과 같다.
  • (역함수 정리) 역함수의 미분은 이다.
  • 정의역공역(치역)과 같다.

각주[편집]

  1. 김홍종. 《미적분학1》. 서울대학교 출판부. 81쪽. 역함수를 거꿀함수라고 부르는 이가 북쪽에 있다.