역함수

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함수 와 그 역함수

수학에서, 역함수(逆函數, 문화어: 거꿀함수[1], 영어: inverse function)는 변수와 함숫값을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수이다. 즉, 역함수의 대응 규칙에서, 원래의 출력값은 원래의 입력값에 대응한다.

정의[편집]

함수 가 주어졌을 때, 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 왼쪽 역함수(-逆函數, 영어: left inverse function)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여,

마찬가지로, 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 오른쪽 역함수(-逆函數, 영어: right inverse function)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여,

함수 역함수 의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  • 임의의 에 대하여, 는 서로 필요 충분 조건이다.

역함수를 갖는 함수를 가역 함수(可逆函數, 영어: invertible function) 또는 일대일 대응 또는 전단사 함수라고 한다. 전단사 함수가 아닌 함수의 경우에도, 그 함수의 정의역이나 공역을 줄여 전단사 함수가 되게 한 다음 역함수를 정의할 수 있다. 역삼각 함수는 바로 이러한 방법으로 정의된다.

표기[편집]

함수 의 역함수는 위 첨자된 "-1"을 사용하여 와 같이 표기하며, 역함수 에프 또는 에프 인벌스라고 읽는다. 이는 곱셈 이항 연산의 역원의 표기와 같다. 이러한 표기는 거듭제곱의 표기와 혼동할 수 있는데, 이 때문에 역사인 함수는 보통 대신 새로운 표기인 를 사용하여 표기한다.

성질[편집]

  • 모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없다. 역함수를 가질 필요 충분 조건은 전단사 함수이다.
  • 전단사 함수의 역함수는 항상 유일하다. 이는 표기 를 사용할 수 있는 이유이다.
  • 전단사 함수의 역함수의 정의역은 원래 함수의 공역치역과 같으며, 역함수의 공역 및 치역은 원래 함수의 정의역과 같다. 즉, 전단사 함수 에 대하여, 다음이 성립한다.
  • 전단사 함수의 역함수 역시 전단사 함수이며, 역함수의 역함수는 원래 함수 자기 자신이다. 즉, 전단사 함수 에 대하여, 다음이 성립한다.
  • 전단사 함수 의 역함수 의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다.
  • 전단사 함수 의 역함수 의 정의의 다른 한 가지 서술은 다음과 같다. (여기서 함수의 합성의 기호이다.)
  • 함수의 합성의 역함수에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다. 전단사 함수 에 대하여,
이는 역함수의 정의에 따라 쉽게 보일 수 있다. 또한, 이를 양말을 신은 뒤 신발을 신은 일을 취소하려면 신발을 벗은 뒤 양말을 벗어야 한다는 사실에 비유할 수 있다.
  • (역함수 정리) 역함수의 미분은 이다.

관련 개념[편집]

참고 문헌[편집]

  1. 김홍종. 《미적분학1》. 서울대학교 출판부. 81쪽. 역함수를 거꿀함수라고 부르는 이가 북쪽에 있다. 

바깥 고리[편집]