승멱 은 여기로 연결됩니다. 다항식의 항의 배열법에 대해서는
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위에서 아래로: x 1/8 , x 1/4 , x 1/2 , x 1 , x 2 , x 4 , x 8 . 수학 에서 거듭제곱 (영어 : exponentiation ) 또는 승멱 (乘冪) 또는 멱 (冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 곱하는 이항 연산 이다. 여러 번 곱하는 수를 밑 (영어 : base )이라고 하고, 곱하는 횟수를 지수 (指數, 문화어 :영어 : exponent, power )라고 한다. 밑이
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
기저 로 부르기도 한다.
실수
a
{\displaystyle a}
자연수
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
n
=
a
×
a
×
a
×
⋯
a
⏟
n
{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}}
즉,
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
재귀적 정의 와 동치 이다.
a
1
=
a
{\displaystyle a^{1}=a}
a
k
+
1
=
a
k
×
a
(
k
∈
N
)
{\displaystyle a^{k+1}=a^{k}\times a\qquad (k\in \mathbb {N} )}
0이 아닌 실수
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 00 은 정의하지 않는다.
0이 아닌 실수
a
{\displaystyle a}
음의 정수
−
n
{\displaystyle -n}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
−
n
{\displaystyle -n}
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}
즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값 인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수 를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.
지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근 을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
x
n
=
a
{\displaystyle x^{n}=a}
a
{\displaystyle a}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
홀수 일 경우나,
n
{\displaystyle n}
짝수 이며
a
{\displaystyle a}
반수 인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수 의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를
m
n
(
m
,
n
∈
Z
;
n
>
0
;
gcd
{
m
,
n
}
=
1
)
{\displaystyle {\frac {m}{n}}\qquad (m,n\in \mathbb {Z} ;\;n>0;\;\gcd\{m,n\}=1)}
라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.
a
m
n
=
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근 을 취한 결과이다. 분모
n
{\displaystyle n}
홀수 일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑
a
{\displaystyle a}
짝수 일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑
a
{\displaystyle a}
다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉,
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}
방정식
x
n
=
a
m
{\displaystyle x^{n}=a^{m}}
x
n
=
a
m
{\displaystyle x^{n}=a^{m}}
다가 함수 로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
거듭제곱의 지수를 무리수 의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.
양의 실수
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
a
x
=
lim
Q
∋
q
→
x
a
q
{\displaystyle a^{x}=\lim _{\mathbb {Q} \ni q\to x}a^{q}}
즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한 이다. 이는 다음 정의와 동치 이다.
a
x
=
sup
q
∈
Q
:
q
<
x
a
q
{\displaystyle a^{x}=\sup _{q\in \mathbb {Q} \colon q<x}a^{q}}
즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한 이다.
양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수 와 로그 함수 를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수
R
→
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle \mathbb {R} \to (0,+\infty )}
x
↦
e
x
{\displaystyle x\mapsto e^{x}}
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치 이다.
(수열의 극한 )
e
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
(거듭제곱 급수 )
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수 이다.
ln
=
exp
−
1
{\displaystyle \ln =\exp ^{-1}}
이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
a
x
=
e
x
ln
a
{\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}}
거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값 이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수
C
→
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}}
z
↦
e
z
{\displaystyle z\mapsto e^{z}}
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치 이다.
(수열의 극한)
e
z
=
lim
n
→
∞
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}
(거듭제곱 급수)
e
z
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. 오일러의 공식
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
(
θ
∈
R
)
{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \qquad (\theta \in \mathbb {R} )}
과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
e
z
=
e
Re
z
(
cos
Im
z
+
i
sin
Im
z
)
(
z
∈
C
)
{\displaystyle e^{z}=e^{\operatorname {Re} z}(\cos \operatorname {Im} z+i\sin \operatorname {Im} z)\qquad (z\in \mathbb {C} )}
또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다.
Ln
=
exp
−
1
{\displaystyle \operatorname {Ln} =\exp ^{-1}}
그러나 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수 가 아니므로 다가 함수 이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Ln
z
=
ln
|
z
|
+
i
Arg
z
(
z
∈
C
∖
{
0
}
)
{\displaystyle \operatorname {Ln} z=\ln |z|+i\operatorname {Arg} z\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})}
이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
z
w
=
e
w
Ln
z
{\displaystyle z^{w}=e^{w\operatorname {Ln} z}}
복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. (자세히... )
자연수
n
{\displaystyle n}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a
n
=
a
×
⋯
×
a
⏟
n
{\displaystyle {{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n}}
이것은 곱셈 연산이 덧셈 을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.
a
1
=
a
{\displaystyle a^{1}=a}
a
b
a
c
=
a
b
+
c
{\displaystyle {a^{b}}{a^{c}}=a^{b+c}}
(
a
n
)
m
=
a
n
m
{\displaystyle (a^{n})^{m}=a^{nm}}
(
a
b
)
c
=
(
a
c
)
b
{\displaystyle (a^{b})^{c}=(a^{c})^{b}}
a
c
b
c
=
(
a
b
)
c
{\displaystyle {a^{c}}{b^{c}}=(ab)^{c}}
a
m
÷
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}
a
5
=
a
×
a
×
a
×
a
×
a
=
(
a
×
a
×
a
)
×
(
a
×
a
)
=
a
3
×
a
2
=
a
3
+
2
=
a
5
=
(
a
×
a
)
×
(
a
×
a
×
a
)
=
a
2
+
3
=
a
5
{\displaystyle {a^{5}}={a\times a\times a\times a\times a}=({a\times a\times a})\times ({a\times a})=a^{3}\times a^{2}=a^{3+2}=a^{5}=({a\times a})\times ({a\times a\times a})=a^{2+3}=a^{5}}
a
5
a
5
=
a
×
a
×
a
×
a
×
a
a
×
a
×
a
×
a
×
a
=
a
×
a
×
a
×
a
×
a
a
×
a
×
a
×
a
×
a
=
1
1
=
1
{\displaystyle {{a^{5}} \over {a^{5}}}={{a\times a\times a\times a\times a} \over {a\times a\times a\times a\times a}}={{{\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}\times {\cancel {a}}}}={1 \over 1}=1}
a
5
a
5
=
a
5
−
5
=
a
0
=
1
{\displaystyle {{a^{5}} \over {a^{5}}}=a^{5-5}=a^{0}=1}
(
−
a
)
1
=
−
a
{\displaystyle (-a)^{1}=-a}
(
−
a
)
2
=
−
a
⋅
−
a
=
+
a
2
{\displaystyle (-a)^{2}=-a\cdot -a=+a^{2}}
(
−
a
)
3
=
−
a
⋅
−
a
⋅
−
a
=
−
a
3
{\displaystyle (-a)^{3}=-a\cdot -a\cdot -a=-a^{3}}
(
−
a
)
0
=
−
a
−
a
=
+
1
{\displaystyle (-a)^{0}={-a \over -a}=+1}
다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다.
a
1
=
a
{\displaystyle a^{1}=a}
a
n
+
1
=
a
×
a
n
,
n
=
1
,
2
,
3
,
⋯
{\displaystyle a^{n+1}=a\times a^{n},\ n=1,2,3,\cdots }
거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.
a
n
=
x
{\displaystyle \;\;a^{n}=x}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
진수 는
x
{\displaystyle x}
승멱은 여기로 연결됩니다. 다항식의 항의 배열법에 대해서는 오름차순 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df)
![{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb409de8f30f86d2ee48c97de1f939fdd257d916)
