거듭제곱

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거듭제곱()은 이항 연산으로, 하나의 수를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 으로 표기하며, 이때 , 지수(exponentiation)라고 한다.

정의[편집]

자연수 에 대해, 거듭제곱 은 다음과 같이 정의된다.

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다:

거듭제곱근[편집]

지수의 범위 확장[편집]

거듭제곱은 한 숫자를 여러 번 곱하는 정의 말고도 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다. 이때 거듭제곱의 정의에 따라 에서 지수 n의 범위를 양의 정수(자연수)보다 더 큰 범위로 생각할 수 있다.

즉, 여기서부터, 거듭제곱은 지수1의 의미를 수를 몇 번 곱했느냐로 생각하겠다.

정수[편집]

n이 음의 정수인 경우에는 다음과 같이 정의한다.

그리고 이 경우에도 이 성립하려면 이 성립해야 하고, 따라서 는 다음과 같이 정의한다.(a≠0[1]일 경우)

유리수[편집]

유리수 에 대해 라고 하면, 이 성립해야 한다. 따라서, 유리수 범위의 거듭제곱은 다음과 같이 정의한다.

실수[편집]

실수 x에 대해, e를 밑으로 하는 거듭제곱은 지수 함수로 정의된다.

또한, 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.

멱급수로 표현하면 다음과 같다.

.

일반적인 실수에 대해서는 다음과 같이 정의한다.

복소수[편집]

x가 실수일 때, 허수단위 를 포함하는 거듭제곱은 다음과 같다.

이 식은 오일러 공식으로도 부르며, 이 식에 따라 가 성립한다.

이에 따라서, 복소수 일 때 는 다음과 같이 구할 수 있다.

그리고, 복소수가 지수로 오는 거듭제곱은 다음과 같다.

기수법[편집]

거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.

일때,
의 밑은 이고, 지수는 , 진수이다.

각주[편집]

  1. 00은 0a=0, a0=1이기 때문에 정의되지 않는다. 그러나 xx은 x가 0으로 접근하면 1에 수렴하기 때문에 1로 정의하기도 한다.

같이 보기[편집]