멱급수

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해석학에서, 멱급수(冪級數, 영어: power series) 또는 거듭제곱 급수(-級數)는 중심이 같은 일련의 멱함수를 항으로 갖는 급수이다. "무한차 다항식"이라고 할 수 있다.

정의[편집]

멱급수는 다음과 같은 꼴의 실수 또는 복소수 급수이다.

이 경우, 를 멱급수의 중심(中心, 영어: center)이라고 한다. 특히, 중심 0의 멱급수는 자주 사용되며, 다음과 같다.

멱급수의 수렴역(收斂域, 영어: domain of convergence)은 멱급수가 수렴하는 점의 집합이다.

멱급수의 수렴 반지름(收斂半-, 영어: radius of convergence)은 수렴역의 지름의 1/2이다.

성질[편집]

연산에 대한 닫힘[편집]

두 멱급수의 합 · 차 · (코시) 곱 · 몫은 다음과 같다.

합과 차는 서로 역연산이며, 곱과 몫 역시 그렇다. 합 · 차 · 곱의 수렴 반지름은 항상 두 멱급수의 수렴 반지름의 최솟값 이상이다. 합 · 차의 수렴 반지름은 두 멱급수의 수렴 반지름이 다를 경우, 이 둘의 최솟값과 같다. 몫의 계수는 곱의 계수 공식으로부터 재귀적으로 구할 수 있다. 몫의 수렴 반지름은 분모가 0인 점의 절댓값의 최솟값이며, 이는 (일 경우) 항상 0보다 크다.

멱급수의 미분적분은 다음과 같다.

멱급수의 미분과 적분의 수렴 반지름은 원래의 수렴 반지름과 같다. 수렴역은 변할 수 있는데, 미분의 경우 수렴역의 경계점이 줄어들 수 있지만 늘어날 순 없으며, 적분의 경우 수렴역의 경계점이 늘어날 수 있지만 줄어들 순 없다.

수렴성[편집]

멱급수의 수렴역의 내부열린 공이며, 그 중심은 멱급수의 중심, 반지름은 멱급수의 수렴 반지름이다. 특히 실수 멱급수의 수렴역의 내부는 구간이며, 복소수 멱급수의 수렴역의 내부는 원판이다.

실수 멱급수는 수렴역에서 콤팩트 수렴하며, 수렴역의 내부에서 콤팩트 절대 수렴한다. 또한, 실수 멱급수는 수렴역에서 연속 함수이며, 수렴역의 내부에서 해석 함수이다.

코시-아다마르 정리(영어: Cauchy-Hadamard theorem)에 따르면, 멱급수의 수렴 반지름은 다음과 같다. (여기서 상극한은 항상 존재하며, 극한은 존재하지 않을 수 있다.)

항등식[편집]

멱급수의 중심을 다음과 같이 변경할 수 있다.

응용[편집]

상미분 방정식의 풀이[편집]

위의 식을 이용해 다음의 미분 방정식을 풀 수 있다.

를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단, 에서 해석적(analytic)이어야 한다.

참고 문헌[편집]

  • Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2. 

외부 링크[편집]