미적분학 에서 함수의 미분 (微分, 영어 : differential )은 함수의 증분의 주요 선형 부분 이다. 일반적으로 도함수 가 존재하는 일변수 함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
의 증분
Δ
y
{\displaystyle \Delta y}
는 다음 관계를 만족한다.
Δ
y
=
f
′
(
x
)
Δ
x
+
α
Δ
x
,
α
→
0
(
Δ
x
→
0
)
{\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)}
여기서
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
는 일계 도함수,
α
{\displaystyle \alpha }
는
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
가 0으로 갈 때의 무한소 이다. 이로부터
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
에 대해 선형 인 부분인
d
y
=
f
′
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle dy=f'(x)\Delta x}
를 함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
의 미분 이라고 정의한다. 이때 함수
y
=
x
{\displaystyle y=x}
의 미분은
d
y
=
d
x
=
(
x
)
′
Δ
x
=
1
Δ
x
=
Δ
x
{\displaystyle dy=dx=(x)'\Delta x=1\Delta x=\Delta x}
이므로
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
를
d
x
{\displaystyle dx}
로 다시 쓰면 다음 관계를 얻는다.
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle dy=f'(x)dx}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
는 이러한 이유로
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
로 쓰여지기도 한다:
d
y
=
d
y
d
x
d
x
{\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}dx}
미분의 개념은 때로 엄밀하지 않게 서술된다. 이 경우, 미분
d
y
{\displaystyle dy}
는 함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
의 무한히 작은 변화값이다(미분소 ). 이러한 논법은 비표준 해석학 에서 엄밀한 방식으로 처리된다. 미분의 (엄밀한) 정의법은 위에 적은 선형성에 의한 것과 비표준 해석학적 정의 이외에, 미분 형식 , 멱영원 , 초실수 등에 의한 것이 있다.
위에서 적었듯이, 일변수 함수의 점
x
{\displaystyle x}
에서의 미분
d
y
{\displaystyle dy}
는 독립 변수의 변화량
d
x
=
Δ
x
{\displaystyle dx=\Delta x}
에 대한 선형 함수 이다:
d
y
(
x
,
d
x
)
=
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle dy(x,dx)=f'(x)dx}
이러한
d
y
{\displaystyle dy}
가 존재할 필요충분조건은 그 점에서 미분 가능, 즉
f
′
(
x
)
=
d
y
d
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}}
가 존재한다는 것이다.
조금 더 자세히 말해, 어떤 상수
c
{\displaystyle c}
가 존재하여
Δ
y
=
c
Δ
x
+
α
Δ
x
,
α
→
0
(
Δ
x
→
0
)
{\displaystyle \Delta y=c\Delta x+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)}
일 필요충분조건은, 그 점에서
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
의 도함수를 구할 수 있다는 것이다. 이때
c
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle c=f'(x)}
가 된다.
함수
u
{\displaystyle u}
와
v
{\displaystyle v}
의 미분
d
u
{\displaystyle du}
와
d
v
{\displaystyle dv}
가 같은 점에서 존재할 때, 도함수와 비슷한 연산 성질들을 만족한다:
선형성
d
(
u
+
v
)
=
d
u
+
d
v
{\displaystyle d(u+v)=du+dv}
d
(
c
u
)
=
c
d
u
{\displaystyle d(cu)=cdu}
(c 는 상수)
곱셈
d
(
u
v
)
=
v
d
u
+
u
d
v
{\displaystyle d(uv)=vdu+udv}
나눗셈
d
(
u
v
)
=
v
d
u
−
u
d
v
v
2
{\displaystyle d({\frac {u}{v}})={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}
함수
y
=
f
(
u
)
{\displaystyle y=f(u)}
를 생각하자. 여기서
u
{\displaystyle u}
는 독립 변수이다. 그의 미분은 다음과 같다.
d
y
=
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle dy=f'(u)du}
한편 함수
y
=
f
(
u
)
{\displaystyle y=f(u)}
와
u
=
g
(
x
)
{\displaystyle u=g(x)}
에 의하여 얻어지는
y
{\displaystyle y}
의
x
{\displaystyle x}
에 대한 함수
y
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle y=f(g(x))}
를 미분해 보면 다음과 같다. (
u
{\displaystyle u}
는
x
{\displaystyle x}
에 대한 종속 변수이다)
d
y
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle dy=f'(g(x))g'(x)dx}
이때
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle g'(x)dx}
는 곧
d
u
{\displaystyle du}
이고,
f
′
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f'(g(x))}
는
f
′
(
u
)
{\displaystyle f'(u)}
이므로, 위의 식은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.
d
y
=
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle dy=f'(u)du}
이는
u
{\displaystyle u}
를 독립 변수로 놓고
y
{\displaystyle y}
를 미분한 결과와 일치한다. 즉, 일변수 함수의 (그뿐만은 아니다) 일계 미분
d
y
{\displaystyle dy}
의 형식은
u
{\displaystyle u}
가 독립 변수인지 종속 변수인지에 따라 변하지 않는다. 따라서, 예컨대 아래와 같은 미분들을 자유자재로 사용하여도 무방하다.
d
(
sin
(
ln
x
)
)
=
cos
(
ln
x
)
d
(
ln
x
)
=
cos
(
ln
x
)
⋅
1
x
d
x
{\displaystyle d(\sin(\ln x))=\cos(\ln x)d(\ln x)=\cos(\ln x)\cdot {\frac {1}{x}}dx}
d
x
=
c
d
y
⟹
d
y
=
1
c
d
x
{\displaystyle dx=cdy\Longrightarrow dy={\frac {1}{c}}dx}
이러한 결론은 다변수 함수의 미분에서도 성립한다. 고계 미분에서는 성립하지 않는다는 점은 주의할 가치가 있다.
(a , f (a )) 에서의 접선(tangent).
함수의 증가량에서 그 점에서의 미분을 제외하고 나면
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
에 비하면 매우 작은 무한소
α
Δ
x
{\displaystyle \alpha \Delta x}
만 남는다:
Δ
y
=
d
y
+
α
Δ
x
,
α
→
0
(
Δ
x
→
0
)
{\displaystyle \Delta y=dy+\alpha \Delta x,\ \alpha \to 0\ (\Delta x\to 0)}
따라서 함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서의 증가량을 근사하는 데에 사용된다:
Δ
y
≈
d
y
=
f
′
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \Delta y\approx dy=f'(x)\Delta x}
즉
f
(
x
′
)
≈
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
Δ
x
,
x
′
=
x
+
Δ
x
{\displaystyle f(x')\approx f(x)+f'(x)\Delta x,\ x'=x+\Delta x}
이는 결과적으로 임의의 함수를 선형 함수로 근사한 것이 된다. 예를 들어,
e
0.1
{\displaystyle e^{0.1}}
의 값을 어림잡기 위하여, 다음의 근사를 사용할 수 있다.
e
x
≈
e
0
+
(
e
x
)
′
(
x
−
0
)
=
1
+
x
,
x
≪
1
{\displaystyle e^{x}\approx e^{0}+(e^{x})'(x-0)=1+x,\ x\ll 1}
이렇게 추정한
e
0.1
{\displaystyle e^{0.1}}
의 값은 1.1이다. (정확한 값은 1.1051709... )
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