중적분

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직육면체의 윗면을 쌍곡 포물면으로 대신한 도형
이중 적분은 그래프 곡면 아래의 부피를 구하는 방법이다. 밑면(직사각형)은 함수의 정의역을 나타내며, 윗면(쌍곡 포물면 z = 10 - (x2 - y2) / 8)은 함수의 그래프를 나타낸다.

미적분학에서, 중적분(重積分, 영어: multiple integral)은 정적분다변수 함수에까지 확장한 것이다.[1] 이변수 함수의 경우를 이중 적분(二重積分, 영어: double integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과 평면 사이의 부피라고 이해할 수 있다. 삼변수 함수의 경우를 삼중 적분(三重積分, 영어: triple integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 삼중 적분 역시 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 초부피라고 생각할 수 있다.

중적분은 정적분을 여러 번 반복하여 계산할 수 있으며, 이를 푸비니 정리라고 한다. 복잡한 중적분의 계산에는 변수 변환을 통해 적분 집합이나 함수를 단순화하는 기법이 필요하며, 이를 치환 적분이라고 한다.

일변수 함수의 리만 적분 · 리만-스틸티어스 적분 · 르베그 적분 · 르베그-스틸티어스 적분에 대하여 각각 그에 대응하는 중적분이 존재한다. 임의의 측도(또는 유한 가법 측도)에 의한 적분이 주어졌을 때, 이에 대응하는 중적분은 곱측도에 의한 적분이다.

정의[편집]

리만 중적분[편집]

조르당 측도[편집]

평면 도형을 포함하거나 이에 포함되는, 직사각형들의 합집합
평면 도형이 조르당 가측 집합일 필요 충분 조건은, 각각 안과 밖에 놓인, 직사각형의 유한 합집합을 통해 얻은 근사 넓이가 서로 같다는 것이다.

리만 중적분(영어: multiple Riemann integral)의 정의는 조르당 측도(영어: Jordan measure/content)에 기반한다.

유계 집합 조르당 내측도(영어: inner Jordan measure) 는 이에 포함되는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.

비슷하게, 조르당 외측도(영어: outer Jordan measure) 는 이를 덮는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.

유계 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 조르당 가측 집합(영어: Jordan measurable set)이라고 한다.

  • . 이 경우, 조르당 측도라고 한다.

조르당 측도는 유한 가법 측도이지만, 이름과 달리 측도가 아니다. 리만 중적분은 조르당 가측 집합 위에서만 정의된다.

(유계) 조르당 가측 집합 분할(영어: partition)은 다음 세 조건을 만족시키는 유한 집합족 이다.

  • 모든 에 대하여, 는 조르당 가측 집합이다.
  • 모든 에 대하여,

또한, 분할 메시(영어: mesh) 는 다음과 같다.

리만 중적분[편집]

함수 (은 조르당 가측 집합)의, 분할 에 대한 리만 합(영어: Riemann sum)은 다음과 같다.

또한, 다르부 상합(영어: upper Darboux sum)은 다음과 같다.

또한, 다르부 하합(영어: lower Darboux sum)은 다음과 같다.

함수 (은 조르당 가측 집합)에 대하여, 만약 다음과 같은 극한이 존재하며, 분할 및 각 집합의 점 의 열의 선택과 무관하다면, 위의 리만 적분 가능 함수(영어: Riemann integrable function)라고 하며, 이 극한을 리만 중적분(영어: n-ple Riemann integral)이라고 한다.

또한, 다르부 상적분(영어: upper Darboux integral)은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.

마찬가지로, 다르부 하적분(영어: lower Darboux integral)은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.

특히, 리만 이중 적분을

와 같이 표기하며, 리만 삼중 적분을

와 같이 표기한다.

이상 리만 중적분[편집]

유계 집합과 (정의역이 조르당 영집합이 아니라면) 유계 함수에 한정된 리만 중적분을 무계 집합과 무계 함수를 허용하는 이상 리만 중적분(영어: improper multiple Riemann integral)으로 확장할 수 있다. 일변수 함수에서와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴한다는 것이다.

함수 및 그 정의역 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 무계 집합이다.
  • 유계 함수이다.
  • 임의의 에 대하여, 는 조르당 가측 닫힌집합이다.
    • 여기서 닫힌 공이다.
    • 특히, 가 무계 닫힌집합일 경우, 가 닫힌집합이라는 조건은 생략할 수 있다.
  • 임의의 조르당 가측 닫힌집합 에 대하여, 에서 리만 적분 가능 함수이다.

이러한 에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 의 열의 선택과 무관하다면, 이를 위의 이상 리만 중적분이라고 한다.

비슷하게, 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 유계 집합이다.
  • 무계 함수이다.
  • 임의의 에 대하여, 는 조르당 가측 닫힌집합이다.
    • 여기서 열린 공이다.
    • 특히, 가 조르당 가측 닫힌집합일 경우, 이 조건은 생략할 수 있다.
  • 임의의 조르당 가측 닫힌집합 에 대하여, 에서 리만 적분 가능 함수이다.

이러한 에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 의 열의 선택과 무관하다면, 이를 위의 이상 리만 중적분이라고 한다.

르베그 중적분[편집]

르베그 중적분(영어: multiple Lebesgue integral)은 유클리드 공간르베그 측도에 기반하여 정의된다.

성질[편집]

리만 적분 가능 함수는 유계 함수일 필요가 없다. 예를 들어, 정의역이 조르당 영집합인 함수는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 그러나, 양의 조르당 측도의 집합들로 임의로 세밀하게 분할될 수 있는 정의역 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다. 특히, 조르당 가측 열린집합 또는 그 폐포 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다.[2]

리만 중적분은 일변수 함수의 리만 적분과 같은 성질들을 갖췄다. 예를 들어, 리만 중적분은 선형성 · 적분 집합에 대한 가법성 · 비엄격 부등식의 보존 · 곱의 적분 가능성 보존 등을 만족시킨다.[2]

누차 적분과의 관계[편집]

함수를 먼저 일부 변수에 대하여 적분한 뒤, 다시 남은 변수에 대하여 적분하는 것을 누차 적분(累次積分, 영어: repeated integral) 또는 반복 적분(反復積分)이라고 한다. 중적분은 일정 조건 아래 누차 적분을 통해 구할 수 있다.

함수 (는 조르당 가측 집합)가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 에서 리만 적분 가능 함수이다.
  • 임의의 에 대하여, 리만 적분 이 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.[2]

적분 구역 axb, α(x) ≤ yβ(x) 위의 적분은 x를 고정한 채 y에 대하여 적분한 뒤, 이를 다시 x에 대하여 적분한 것과 같다.

일부 특수한 정의역의 경우는 다음과 같다. (여기서 , )

그러나, 둘째 전제가 없다면 결론이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면,

이지만, ()가 리만 적분 가능 함수가 아니므로

는 존재하지 않는다.

치환 적분[편집]

극좌표계
원통 좌표계
구면 좌표계

함수 (는 조르당 가측 닫힌집합) 및 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 단사 함수이다.
  • 임의의 에 대하여,
  • 에서 리만 적분 가능 함수이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

여기서 야코비 행렬식인데, 어떤 점에서의 야코비 행렬식의 값은 대략 변환이 그 점 주위의 초부피를 확대시키는 배수를 나타낸다.

예를 들어, 극좌표 변환

에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

또한, 원통 좌표 변환

에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

또한, 구면 좌표 변환

에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

기하학적 성질[편집]

음이 아닌 값의 함수 (는 조르당 가측 집합)의 리만 중적분은 밑면이 정의역, 윗면이 함수의 그래프인 도형의 조르당 측도와 같다.

특히, 상수 함수 1의 리만 중적분은 정의역의 조르당 측도와 같다.

이상 중적분의 성질[편집]

이상 중적분 역시 중적분과 비슷한 성질들을 만족시킨다.

예를 들어, 함수 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 임의의 조르당 가측 닫힌집합 에 대하여, 에서 리만 적분 가능 함수이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.[3]:175, 정리 15.5.4

  • 만약 라면,
  • 만약 라면, 는 발산한다.

또한, 무계 닫힌집합 및 단사 함수 및 함수 에 대하여, 만약 두 이상 적분

가운데 하나가 존재한다면, 남은 하나도 존재하며, 이 둘은 서로 같다.[3]:175, 정리 15.5.5

이상 리만 중적분

이 수렴할 필요충분조건은

이다. 즉, 일변수 함수의 경우와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴이다.

[편집]

직육면체의 부피[편집]

직육면체 의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

삼각뿔의 부피[편집]

삼각뿔 의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

이차 곡면으로 둘러싸인 도형의 부피[편집]

타원 포물면 z = x2 + y2원기둥 x2 + y2 = a2에 의해 둘러싸인 도형
x2 + y2 + z2 = a2원뿔 z2 = (x2 + y2)tana에 의해 둘러싸인 도형

타원 포물면원기둥으로 둘러싸인 도형 의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

원뿔로 둘러싸인 도형 의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

치환 적분의 예[편집]

극좌표 변환 · 원통 좌표 변환 · 구면 좌표 변환 외의 변환을 사용하여 구할 수 있는 중적분의 한 가지 예는 다음과 같다.

여기에서 다음과 같은 변환을 사용하자.

이 변환의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

따라서 상술 이중 적분을 다음과 같이 구할 수 있다.

이상 중적분의 예[편집]

가우스 함수의 적분

은 이상 중적분

을 통해 구할 수 있는데, 이는

이기 때문이다. 이 이상 중적분의 값은

이므로, 가우스 함수의 적분 값은

이다.

각주[편집]

  1. 정용욱 (2002년 11월). “일단의 중적분을 단적분으로 변환시키는 것에 대한 새로운 증명”. 《한국고등직업교육학회논문집》 3 (4): 741-744. 
  2. “Multiple integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  3. 伍胜健 (2009). 《数学分析》 [해석학] (중국어) 3 초판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 

외부 링크[편집]