교대급수판정법

교대급수판정법(交代級數判定法, alternating series test)은 교대급수

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots$

(a_n은 항상 ≥ 0 또는 항상 ≤ 0)에 대한 수렴판정법으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. 고트프리트 라이프니츠가 제시하여 라이프니츠 판정법(Leibniz's test)이라고도 불린다.

서술

만약 교대급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$에서 a_n이 단조감소하고 $\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0$이면, 그 교대급수는 수렴한다.

또한, 급수의 합 S는 부분합 S_N에 의해 a_{N + 1} 이내의 절단오차로 근사된다.

$|S_{N}-S|\leq a_{N+1}$^:183

증명

S_{2m + 1}과 S_2m은 각각 증가, 감소한다.

$S_{N+2}-S_{N}=(-1)^{N+1}(a_{N+1}-a_{N+2})$

a_N이 감소하며 0으로 수렴하므로,

$S_{2m+1}=S_{2m}-a_{2m+1}\leq S_{2m}$

또한

$0=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})$

따라서 이들을 종합하면, 단조수렴정리에 의해 S_{2m + 1}과 S_2m 모두 같은 값 S로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다.

$S_{1}\leq S_{3}\leq S_{5}\leq \cdots \leq S\leq \cdots \leq S_{4}\leq S_{2}\leq S_{0}$

부분합 근사의 오차는 N이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다.

$|S_{2m}-S|=S_{2m}-S\leq S_{2m}-S_{2m+1}=a_{2m+1}$

$|S_{2m+1}-S|=S-S_{2m+1}\leq S_{2m+2}-S_{2m+1}=a_{2m+2}$

같이 보기

• 디리클레 판정법

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Alternating series test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Alternating series test”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of alternating series test”. 《PlanetMath》 (영어).