교대급수판정법

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교대급수판정법(交代級數判定法, alternating series test)은 교대급수

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n = a_0 - a_1 + a_2 - \cdots

(an은 항상 ≥ 0 또는 항상 ≤ 0)에 대한 수렴판정법으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. 고트프리트 라이프니츠가 제시하여 라이프니츠 판정법(Leibniz's test)이라고도 불린다.

서술[1][편집]

만약 교대급수 \textstyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n에서 an단조감소하고 \textstyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0이면, 그 교대급수는 수렴한다.

또한, 급수의 합 S는 부분합 SN에 의해 aN + 1 이내의 절단오차로 근사된다.

|S_N - S| \le a_{N+1}

증명[편집]

S2m + 1S2m은 각각 증가, 감소한다.

S_{N+2} - S_N = (-1)^{N+1}(a_{N+1} - a_{N+2})

aN이 감소하며 0으로 수렴하므로,

S_{2m+1} = S_{2m} - a_{2m+1} \le S_{2m}

또한

0 = \lim_{m\to\infty} a_{2m+1} = \lim_{m\to\infty} (S_{2m+1} - S_{2m})

따라서 이들을 종합하면, 단조수렴정리에 의해 S2m + 1S2m 모두 같은 값 S로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다.

S_1 \le S_3 \le S_5 \le \cdots \le S \le \cdots \le S_4 \le S_2 \le S_0

부분합 근사의 오차는 N이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다.

|S_{2m} - S| = S_{2m} - S \le S_{2m} - S_{2m+1} = a_{2m+1}
|S_{2m+1} - S| = S - S_{2m+1} \le S_{2m+2} - S_{2m+1} = a_{2m+2}

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 183쪽. ISBN 978-8-96-105054-8. 

참고 문헌[편집]

  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.