실수 절댓값 함수의 그래프 수학 에서 절댓값 (絕對값, 영어 : absolute value 또는 modulus )은 실수 나 복소수 가 원점으로부터 떨어진 거리를 나타내는 음이 아닌 실수이다. 실수의 절댓값은 단순히 부호를 무시한 음의 아닌 값이다. 절댓값의 개념의 다양한 일반화가 존재한다. 예를 들어, 실수와 복소수의 절댓값은 1차원 노름 공간 위의 노름 을 이루며, 실수체 와 복소수체 의 대수적 절댓값 을 이룬다.
실수선 위에서, 실수 -3과 실수 0 사이의 거리는 3이다. 실수
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
절댓값
|
x
|
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle |x|\in [0,\infty )}
|
x
|
=
x
2
=
{
x
x
>
0
0
x
=
0
−
x
x
<
0
{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}={\begin{cases}x&x>0\\0&x=0\\-x&x<0\end{cases}}}
여기서
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
{\displaystyle x}
제곱 이다.
x
2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
주 제곱근 이다.
−
x
{\displaystyle -x}
x
{\displaystyle x}
반수 이다.즉, 실수의 절댓값은 그 실수의 숫자 부분만 남겨두고 부호를 버려 얻는 음이 아닌 실수이다. 실수선 위에서 보면, 이는 실수와 0 사이의 거리와 같다.
복소평면 위에서, 복소수 z 의 절댓값은 원점과의 거리 r 와 같다. 모든 복소수 z 의 절댓값과 그 켤레 복소수 — z 복소수
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
절댓값
|
z
|
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle |z|\in [0,\infty )}
|
z
|
=
z
z
¯
=
(
Re
z
)
2
+
(
Im
z
)
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(\operatorname {Re} z)^{2}+(\operatorname {Im} z)^{2}}}}
여기서
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z
{\displaystyle z}
켤레 복소수 이다.
Re
z
{\displaystyle \operatorname {Re} z}
z
{\displaystyle z}
실수부 이다.
Im
z
{\displaystyle \operatorname {Im} z}
z
{\displaystyle z}
허수부 이다.즉, 복소평면 에 놓인 복소수의 절댓값은 그 복소수와 원점 사이의 거리를 피타고라스 정리 를 사용하여 구한 것과 같다.
이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
x
¯
=
x
{\displaystyle {\bar {x}}=x}
이다. 따라서,
x
x
¯
=
x
x
=
x
2
{\displaystyle {\sqrt {x{\bar {x}}}}={\sqrt {xx}}={\sqrt {x^{2}}}}
이다. 즉,
x
{\displaystyle x}
실수를
x
,
y
,
a
{\displaystyle x,y,a}
z
,
w
{\displaystyle z,w}
복소수의 절댓값은 0 이상이다.
|
z
|
≥
0
{\displaystyle |z|\geq 0}
복소수의 절댓값은 양의 정부호성 을 만족시킨다.
|
z
|
=
0
⟺
z
=
0
{\displaystyle |z|=0\iff z=0}
복소수의 절댓값은 삼각 부등식 을 만족시킨다.
|
|
z
|
−
|
w
|
|
≤
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle ||z|-|w||\leq |z+w|\leq |z|+|w|}
|
z
+
w
|
=
|
z
|
+
|
w
|
⟺
z
w
¯
≥
0
{\displaystyle |z+w|=|z|+|w|\iff z{\bar {w}}\geq 0}
실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다.
|
x
|
≤
a
⟺
−
a
≤
x
≤
a
{\displaystyle |x|\leq a\iff -a\leq x\leq a}
|
x
|
<
a
⟺
−
a
<
x
<
a
{\displaystyle |x|<a\iff -a<x<a}
|
x
|
=
a
⟺
{
x
=
±
a
a
≥
0
x
∈
∅
a
<
0
{\displaystyle |x|=a\iff {\begin{cases}x=\pm a&a\geq 0\\x\in \varnothing &a<0\end{cases}}}
|
x
|
>
a
⟺
x
>
a
∨
x
<
−
a
{\displaystyle |x|>a\iff x>a\lor x<-a}
|
x
|
≥
a
⟺
x
≥
a
∨
x
≤
−
a
{\displaystyle |x|\geq a\iff x\geq a\lor x\leq -a}
복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈을 보존한다.
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle |zw|=|z||w|}
|
z
/
w
|
=
|
z
|
/
|
w
|
(
w
≠
0
)
{\displaystyle |z/w|=|z|/|w|\qquad (w\neq 0)}
복소수 절댓값 함수는 멱등 함수 이며, 회전 대칭 과 반사 대칭 을 만족시킨다. 특히, 실수 절댓값 함수는 짝함수 이다.
|
|
z
|
|
=
|
z
|
{\displaystyle ||z||=|z|}
|
−
z
|
=
|
z
|
{\displaystyle |-z|=|z|}
|
z
¯
|
=
|
z
|
{\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|}
실수 절댓값 함수는 0이 아닌 모든 실수점에서 해석 함수 이다. 그 도함수 는 다음과 같다.
d
d
x
|
x
|
=
sgn
x
(
x
≠
0
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}|x|=\operatorname {sgn} x\qquad (x\neq 0)}
복소수 절댓값 함수는 모든 복소수에서 연속 함수 이지만, 모든 복소수점에서 비(非) 복소 미분 가능 함수 이다. 이는
|
z
|
−
|
z
0
|
z
−
z
0
=
1
|
z
|
+
|
z
0
|
(
z
z
−
z
0
¯
z
−
z
0
+
z
¯
0
)
(
z
0
∈
C
)
{\displaystyle {\frac {|z|-|z_{0}|}{z-z_{0}}}={\frac {1}{|z|+|z_{0}|}}\left(z{\frac {\overline {z-z_{0}}}{z-z_{0}}}+{\bar {z}}_{0}\right)\qquad (z_{0}\in \mathbb {C} )}
가
z
→
z
0
{\displaystyle z\to z_{0}}
이 부분의 본문은
극형식 입니다.
0이 아닌 복소수에 대하여, 절댓값은 복소수가 원점으로부터 떨어진 거리, 편각은 복소수가 가로축으로부터 회전한 각도를 뜻하므로, 0이 아닌 복소수는 절댓값과 편각으로부터 유일하게 결정된다. 구체적으로, 복소수
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
|
z
|
{\displaystyle |z|}
편각
arg
z
{\displaystyle \operatorname {arg} z}
z
=
|
z
|
(
cos
arg
z
+
i
sin
arg
z
)
=
|
z
|
e
i
arg
z
{\displaystyle z=|z|(\cos \operatorname {arg} z+i\sin \operatorname {arg} z)=|z|e^{i\operatorname {arg} z}}
실수의 절댓값이 0과의 거리를 뜻하듯이, 실수선 위의 두 실수
x
,
y
{\displaystyle x,y}
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)}
d
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
=
{
x
−
y
x
>
y
0
x
=
y
y
−
x
x
<
y
{\displaystyle d(x,y)=|x-y|={\begin{cases}x-y&x>y\\0&x=y\\y-x&x<y\end{cases}}}
보다 일반적으로, 복소수의 절댓값이 원점과의 거리를 뜻하듯이, 복소평면 위의 두 복소수
z
,
w
{\displaystyle z,w}
d
(
z
,
w
)
{\displaystyle d(z,w)}
d
(
z
,
w
)
=
|
z
−
w
|
=
(
Re
z
−
Re
w
)
2
+
(
Im
z
−
Im
w
)
2
{\displaystyle d(z,w)=|z-w|={\sqrt {(\operatorname {Re} z-\operatorname {Re} w)^{2}+(\operatorname {Im} z-\operatorname {Im} w)^{2}}}}
이는 복소평면 위의 두 점의 연결선을 빗변으로 하고, 두 빗변이 각각 두 좌표축과 평행하는 직각 삼각형에 피타고라스 정리 를 적용한 결과와 같다. 추상대수학 의 관점에서, 실수와 복소수의 절댓값은 모두 거리 공간 구조를 부여한다. 사실, 절댓값은 노름 공간 구조를 부여하며, 모든 노름 공간은 표준적인 거리 공간 구조를 갖춘다.
이 부분의 본문은
노름 입니다.
노름 은 벡터 공간 에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, 양의 정부호성 을 만족시키며, 양의 동차성 을 만족시키며, 삼각 부등식 을 만족시키는 함수 이다. 실수체와 복소수체는 벡터 공간의 특수한 경우이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 노름의 특수한 경우이다. 모든 노름
x
↦
‖
x
‖
{\displaystyle x\mapsto \Vert x\Vert }
거리 함수
(
x
,
y
)
↦
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle (x,y)\mapsto \Vert x-y\Vert }
정역 위의 절댓값은, 정역 에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, 양의 정부호성 을 만족시키며, 곱셈을 보존하며, 삼각 부등식 을 만족시키는 함수이다. 모든 체 는 정역 이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 정역 위의 절댓값의 특수한 경우이다. 모든 정역 위의 절댓값
x
↦
|
x
|
{\displaystyle x\mapsto |x|}
거리 함수
(
x
,
y
)
↦
|
x
−
y
|
{\displaystyle (x,y)\mapsto |x-y|}
이 부분의 본문은 극형식입니다.
