멱등원

환론과 모노이드 이론에서, 멱등원(冪等元, 영어: idempotent element)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

정의

범주의 멱등 사상

범주 ${\mathcal {C}}$의 자기 사상 $e\colon X\to X$가 $e\circ e=e$를 만족시킨다면, $e$를 ${\mathcal {C}}$의 멱등 사상(영어: idempotent morphism)이라고 한다.

만약 $e=g\circ f$이며 $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}$가 되는 사상 $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to X$가 존재한다면, $e$를 분할 멱등 사상(영어: split idempotent morphism)이라고 한다.

${\mathcal {C}}$의 카루비 껍질(영어: Karoubi envelope) $\operatorname {Split} ({\mathcal {C}})$는 다음과 같은 범주이다.

• $\operatorname {Split} ({\mathcal {C}})$의 대상 $(X,e)$는 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$과 $X$ 위의 멱등 사상 $e\colon X\to X$의 순서쌍이다.
• $\operatorname {Split} ({\mathcal {C}})$의 사상 $f\colon (X,e)\to (X',e')$는 ${\mathcal {C}}$의 사상 $f\colon X\to X'$ 가운데, $e'\circ f=f=f\circ e$인 것이다.

  ${\begin{matrix}X&{\overset {e}{\to }}&X\\{\scriptstyle f}\downarrow &{\scriptstyle f}\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\X'&{\underset {e'}{\to }}&X'\end{matrix}}$

• $(X,e)$ 위의 항등 사상은 $e\in \hom _{\mathcal {C}}(X,X)$이다.

카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, 충실충만한 함자

${\mathcal {C}}\to \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})$

$X\mapsto (X,\operatorname {id} _{X})$

$f\mapsto f$

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

$\operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})\simeq \operatorname {PSh} (\operatorname {Split} ({\mathcal {C}}))$

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

$\operatorname {Split} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {PSh} (\operatorname {Split} ({\mathcal {C}}))\simeq \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})$

가 존재한다.

모노이드의 멱등원

모노이드 $(R,\cdot )$의 원소 $e\in R$가 $e^{2}=e\cdot e=1$을 만족시킨다면, $e$를 $R$의 멱등원이라고 한다.

모노이드 $R$의 멱등원들만으로 구성된 집합 $E\subseteq R$에서, 만약

$ee'=e'e\qquad \forall e\in E$

가 성립한다면, $E$가 직교 멱등원 집합(영어: set of mutually orthogonal idempotents)이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(영어: nilpotent monoid)라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. $n$개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005345)

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\prod _{i=1}^{k}(k-i+1)^{2^{i}}$

환의 멱등원

환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

환 $R$의 멱등원 $e\in R$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(영어: primitive idempotent)이라고 한다.

• $(eR)_{R}$는 $R$-분해 불가능 오른쪽 가군이다.
• $_{R}(Re)$는 $R$-분해 불가능 왼쪽 가군이다.
• 환 $eRe$의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
• $e=e_{1}+e_{2}$이자 $e_{1}e_{2}=e_{1}e_{2}$, $e_{1}\neq 0\neq e_{2}$인 멱등원 $e_{1},e_{2}\in R$가 존재하지 않는다.

환 $R$의 멱등원 $e\in R$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(영어: local idempotent)이라고 한다.

• 오른쪽 가군 자기 사상환 $\operatorname {End} (eR_{R},eR_{R})$는 국소환이다.
• 왼쪽 가군 자기 사상환 $\operatorname {End} ({}_{R}Re,{}_{R}Re)$는 국소환이다.
• $eRe$는 국소환이다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

예

멱등 함수

집합의 범주 $\operatorname {Set}$에서의 멱등 사상은 멱등 함수(영어: idempotent function)라고 한다. 즉, 집합 $X$ 위의 함수 $e\colon X\to X$가 다음 조건을 만족시키면, $X$ 위의 멱등 함수라고 한다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $e(e(x))=e(x)$

멱등 함수 $e\colon X\to X$의 경우, 고정점 집합과 상이 일치한다.

$\{x\in X\colon x=e(x)\}=\{e(x)\colon x\in X\}$

또한, 이는 함자

$\operatorname {Split} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {Set}$

$(X,e)\mapsto e(X)$

$(f\colon (X,e)\to (X',e'))\mapsto (f|_{e(X)}\colon e(X)\to e'(X'))$

를 이루며, 이는 충실충만한 매장

$\operatorname {Set} \to \operatorname {Split} (\operatorname {Set} )$

$X\mapsto (X,\operatorname {id} _{X})$

$f\mapsto f$

의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

멱등 함수의 예로서 다음을 들 수 있다.

• 위상 공간 $X$에 대하여, 폐포 $\operatorname {cl} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$는 멱등 함수이다. 그 상이자 고정점 집합은 닫힌집합들이다.
• 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$가 $f(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1}-(x_{1}+\cdots +x_{n})/n,\dots ,x_{n}-(x_{1}+\cdots +x_{n})/n)$으로 정의되었을 때, $f$는 멱등 함수이다. $f$의 상이자 고정점 집합은 산술 평균이 0인 원소들이다. 이는 분산의 정의에서 산술 평균 대신 제곱 평균을 사용하는 한 가지 동기가 된다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Free idempotent monoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Idempotent”. 《nLab》 (영어). 
• “Split idempotent”. 《nLab》 (영어). 
• “Karoubi envelope”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: idempotent”. 《ProofWiki》 (영어). 2010년 5월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 24일에 확인함.