자유 대상

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범주론추상대수학에서, 자유 대상(自由對象, 영어: free object)은 망각 함자왼쪽 수반 함자이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

구체적 범주 가 주어졌다고 하고, 망각 함자 왼쪽 수반 함자

가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 로부터 생성되는, 속의 자유 대상에 대한 이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(영어: canonical injection)라고 한다.

구성[편집]

대수 구조 다양체의 범주 의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(영어: free algebra) 또는 항 대수(영어: term algebra)라고 한다.

구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체 의 연산들이 이며, 그 항수가 라고 하자. 또한, 에서 성립하는 대수적 관계들이 라고 하자. 또한, 임의의 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.

로 표기하자. 대수 구조 연산을 번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 그렇다면, 이들의 합집합

를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

를 정의하는 대수적 관계들은 위의 동치 관계 로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, 로부터 생성되는 자유 대수 몫집합 이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.

여기서 은 동치 관계 에 대한 동치류이다.

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대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.

대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]