보편 대수학에서 대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 어떤 항등식들을 만족시키는 대수 구조들의 모임이다.
주어진 형 의 대수 구조들의 모임 에 대하여, 다음 두 성질이 서로 동치이다.
- 는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다.
- 준동형에 대한 상. 즉, 이고 준동형 이 존재한다면, 이다.
- 곱 대수. 즉, 가 부분 집합이라면, 이다. (만약 일 경우, 은 하나의 원소를 가진 자명 대수 이다.)
- 부분 대수. 즉, 이고 가 부분 대수라면, 이다.
- 는 일련의 항등식 들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란
- 꼴의 조건이며, 는 에 속한 연산들 및 변수 만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며, 는 에 속한 연산들 및 변수 만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다.
대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 동치라는 사실은 버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리(영어: Birkhoff’s HPS theorem)라고 하며, 개릿 버코프가 증명하였다.
대수 구조 다양체를 형 와 항등식 집합 의 순서쌍으로 적자. 두 대수 구조 다양체 , 사이의 준동형 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각 항 연산 에 대하여, 의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
- 모든 항등식 에 대하여, 에 등장하는 각 연산 를 로 대응시킨 항등식은 으로부터 함의된다.
이에 따라, 대수 구조 다양체들의 모임은 범주를 이룬다.
같은 연산들을 갖는 두 다양체의 교모임 역시 다양체를 이룬다.
대수 구조 다양체는 준동형을 사상으로 하는 구체적 범주를 이룬다. 범주론적으로, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론(영어: Lawvere theory) 로부터 집합의 범주 로 가는, 곱을 보존하는 함자들의 범주 와 동치이다.[1]
모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.
- 항상 자유 대수가 존재한다. 즉, 대수 구조 다양체 의 망각 함자 의 왼쪽 수반 함자 , 가 존재한다.
- 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 극한과 쌍대극한이 존재한다. 이 경우 쌍대극한을 귀납적 극한, 극한을 사영 극한이라고 한다.
집합의 모임 은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 영항연산
- 항등식: 없음
크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다.
- 연산: 없음
- 항등식:
크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다.
- 연산: 영항연산
- 항등식:
유한 집합들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 곱집합은 유한 집합이 아니기 때문이다.
군 가 주어졌을 때, 의 작용을 갖춘 집합들의 모임 는 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 각 에 대하여, 일항연산
- 항등식:
- 모든 에 대하여,
군의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 이항연산 , 일항연산 , 영항연산
- 항등식: , , , ,
아벨 군의 모임 은 군의 다양체의 부분다양체이며, 다음과 같은 항등식이 추가된다.
- 항등식:
이 밖에도, 의 부분다양체들은 다음을 들 수 있다.
- -번사이드 군: 모든 원소의 차수가 의 약수인 군.
- 유도 길이가 이하인 가해군 . 예를 들어, 이며, 를 정의하는 항등식은 이다.
- 중심 길이가 이하인 멱영군 (인 군 )
유사환의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 이항연산 및 , 일항연산 , 영항연산
- 항등식: (유사환의 정의)
가환 유사환의 모임 은 의 부분다양체이다.
환의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 의 연산 및 영항연산
- 항등식: 의 항등식 및
가환환의 모임 은 의 부분다양체이다.
이 밖에도, 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여, 표수가 의 약수인 환들의 모임은 다양체를 이룬다.
체의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 체의 곱셈 역원 은 0에 대하여 정의되지 않으며, 이 연산을 무시하고 체를 단순히 의 부분 모임으로 본다면, 체의 모임은 곱 대수 및 부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않다. 다만, 으로 정의한다면, 체의 모임은 가환 폰 노이만 정규환(영어: commutative von Neumann-regular ring)의 다양체의 부분 모임이며, 이는 체들을 포함하는 가장 작은 다양체이다.[2] 가환 폰 노이만 정규환의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 의 연산 및 일항연산
- 항등식: 의 항등식 및 ,
이 경우, 항등식들에 따라 항상 이 된다.
격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 이항연산 및
- 항등식:
- (교환 법칙) ,
- (결합 법칙) ,
- (흡수 법칙)
모듈러 격자의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, 분배 격자의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다.
유계 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 격자의 연산 및 영항연산 및
- 항등식: 격자의 항등식 및 ,
헤이팅 대수의 모임과 불 대수의 모임 역시 다양체를 이룬다.
완비 격자의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다.