대수 구조 다양체

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보편 대수학에서, 대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 어떤 항등식들을 만족시키는 대수 구조들의 모임이다.

정의[편집]

주어진 형 대수 구조들의 모임 에 대하여, 다음 두 성질이 서로 동치이다.

  • 는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다.
    • 준동형에 대한 . 즉, 이고 준동형 이 존재한다면, 이다.
    • 곱 대수. 즉, 부분 집합이라면, 이다. (만약 일 경우, 은 하나의 원소를 가진 자명 대수 이다.)
    • 부분 대수. 즉, 이고 가 부분 대수라면, 이다.
  • 는 일련의 항등식 들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란
꼴의 조건이며, 에 속한 연산들 및 변수 만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며, 에 속한 연산들 및 변수 만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다.

대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 동치라는 사실은 버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리(영어: Birkhoff’s HPS theorem)라고 하며, 개릿 버코프가 증명하였다.

대수 구조 다양체를 형 와 항등식 집합 의 순서쌍으로 적자. 두 대수 구조 다양체 , 사이의 준동형 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 항 연산 에 대하여, 의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

  • 모든 항등식 에 대하여, 에 등장하는 각 연산 로 대응시킨 항등식은 으로부터 함의된다.

이에 따라, 대수 구조 다양체들의 모임범주를 이룬다.

성질[편집]

같은 연산들을 갖는 두 다양체의 교모임 역시 다양체를 이룬다.

대수 구조 다양체는 준동형사상으로 하는 구체적 범주를 이룬다. 범주론적으로, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론(영어: Lawvere theory) 로부터 집합의 범주 로 가는, 을 보존하는 함자들의 범주 동치이다.[1]

모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.

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집합의 다양체[편집]

집합의 모임 은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 영항연산
  • 항등식: 없음

크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다.

  • 연산: 없음
  • 항등식:

크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다.

  • 연산: 영항연산
  • 항등식:

유한 집합들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 곱집합은 유한 집합이 아니기 때문이다.

가 주어졌을 때, 작용을 갖춘 집합들의 모임 는 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 각 에 대하여, 일항연산
  • 항등식:
    • 모든 에 대하여,

군의 다양체[편집]

군의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 이항연산 , 일항연산 , 영항연산
  • 항등식: , , , ,

아벨 군의 모임 은 군의 다양체의 부분다양체이며, 다음과 같은 항등식이 추가된다.

  • 항등식:

이 밖에도, 의 부분다양체들은 다음을 들 수 있다.

  • -번사이드 군: 모든 원소의 차수가 의 약수인 군.
  • 유도 길이가 이하인 가해군 . 예를 들어, 이며, 를 정의하는 항등식은 이다.
  • 중심 길이가 이하인 멱영군 (인 군 )

환의 다양체[편집]

유사환의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 이항연산 , 일항연산 , 영항연산
  • 항등식: (유사환의 정의)

가환 유사환의 모임 의 부분다양체이다.

의 모임 은 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 의 연산 및 영항연산
  • 항등식: 의 항등식 및

가환환의 모임 의 부분다양체이다.

이 밖에도, 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여, 표수의 약수인 환들의 모임은 다양체를 이룬다.

의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 체의 곱셈 역원 은 0에 대하여 정의되지 않으며, 이 연산을 무시하고 체를 단순히 의 부분 모임으로 본다면, 체의 모임은 곱 대수 및 부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않다. 다만, 으로 정의한다면, 체의 모임은 가환 폰 노이만 정규환(영어: commutative von Neumann-regular ring)의 다양체의 부분 모임이며, 이는 체들을 포함하는 가장 작은 다양체이다.[2] 가환 폰 노이만 정규환의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 의 연산 및 일항연산
  • 항등식: 의 항등식 및 ,

이 경우, 항등식들에 따라 항상 이 된다.

격자의 다양체[편집]

격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 이항연산
  • 항등식:
    • (교환 법칙) ,
    • (결합 법칙) ,
    • (흡수 법칙)

모듈러 격자의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, 분배 격자의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다.

유계 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

  • 연산: 격자의 연산 및 영항연산
  • 항등식: 격자의 항등식 및 ,

헤이팅 대수의 모임과 불 대수의 모임 역시 다양체를 이룬다.

완비 격자의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다.

참고 문헌[편집]

  1. Hyland, Martin; John Power (2007년 4월 1일). “The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads” (PDF). 《Electronic Notes in Theoretical Computer Science》 (영어) 172: 437–458. 
  2. “What is the smallest variety of algebras containing all fields”. 《MathOverflow》 (영어). 

외부 링크[편집]