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분해 불가능 대상

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범주론에서 분해 불가능 대상(分解不可能對象, 영어: indecomposable object)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.

정의

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시작 대상 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 의 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상(영어: indecomposable object)이라고 한다.

  • 임의의 대상들의 집합 동형 에 대하여, 이며 가 되는 가 유일하게 존재한다.

여기서 쌍대곱을 뜻한다.

마찬가지로, 끝 대상 및 모든 을 갖는 범주 의 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상(영어: coindecomposable object)이라고 한다.

  • 임의의 대상들의 집합 동형 에 대하여, 이며 가 되는 가 유일하게 존재한다.

여기서 을 뜻한다.

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집합

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집합함수의 범주 에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.

준층

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작은 범주 가 주어졌을 때, 준층 범주 속의 대상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Proposition 1.5

  • 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
  • 에서 어떤 표현 가능 준층 으로 가는 분할 단사 사상 이 존재한다.

가군

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가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: indecomposable left module)은 -왼쪽 가군 범주 의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, 와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다.

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 분해 불가능 가군이다.
  • 영가군이 아니며, 자기 사상환 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.

이는 만약 자기 사상환 의 멱등원 이 주어졌을 때, 가 되기 때문이다.

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

위의 왼쪽 가군 이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

이는 자기 사상 이 주어졌을 때, 충분히 큰 에 대하여 임을 보여 증명할 수 있다.

위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다.

모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 위의 왼쪽 가군 이 유한한 길이를 갖는다면, 을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군직합 동형이라면, 이며, 가 존재한다.

모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

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에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 의 범주 의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 라면, 가운데 정확히 하나가 성립한다.
  • 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상 이다.)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합오름 사슬 조건내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 쌍대 분해 불가능 군이다.
  • 자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상 에 대하여, 만약 가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며, 의 원소와 의 원소가 가환하며, 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상 역시 자기 동형 사상이 아니다.[2]:156, Corollary 2
  • (피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)[2]:156, Corollary 1

정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합오름 사슬 조건내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱 동형이라면, 이며, 가 존재한다.[2]:156–157

참고 문헌

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  1. Moerdijk, I.; van Oosten, J. (2007). “Topos theory” (PDF) (영어). 
  2. Jacobson, Nathan (1951). 《Lectures in abstract algebra. I. Basic concepts》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 30. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-7301-8. ISBN 978-1-4684-7303-2. ISSN 0072-5285. MR 0392227. Zbl 0326.00001. 

외부 링크

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