범주론에서 분해 불가능 대상(分解不可能對象, 영어: indecomposable object)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.
시작 대상
및 모든 쌍대곱을 갖는 범주
의 대상
가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상(영어: indecomposable object)이라고 한다.
- 임의의 대상들의 집합
및 동형
에 대하여,
이며
가 되는
가 유일하게 존재한다.
여기서
는 쌍대곱을 뜻한다.
마찬가지로, 끝 대상
및 모든 곱을 갖는 범주
의 대상
가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상(영어: coindecomposable object)이라고 한다.
- 임의의 대상들의 집합
및 동형
에 대하여,
이며
가 되는
가 유일하게 존재한다.
여기서
는 곱을 뜻한다.
집합과 함수의 범주
에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.
작은 범주
가 주어졌을 때, 준층 범주
속의 대상
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Proposition 1.5
- 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
에서 어떤 표현 가능 준층
으로 가는 분할 단사 사상
이 존재한다.
환
가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: indecomposable left module)은
-왼쪽 가군 범주
의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉,
와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다.
환
위의 왼쪽 가군
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 분해 불가능 가군이다.
- 영가군이 아니며, 자기 사상환
의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
이는 만약 자기 사상환
의 멱등원
이 주어졌을 때,
가 되기 때문이다.
환
위의 왼쪽 가군
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
환
위의 왼쪽 가군
이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 분해 불가능 가군이다.
- 영가군이 아니며, 자기 사상환
은 국소환이다.
- (피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다.
이는 자기 사상
이 주어졌을 때, 충분히 큰
에 대하여
임을 보여 증명할 수 있다.
체
위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다.
모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 환
위의 왼쪽 가군
이 유한한 길이를 갖는다면,
을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약
이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합
및
와 동형이라면,
이며,
인
가 존재한다.
모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.
군에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.
군
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 군의 범주
의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약
라면,
과
가운데 정확히 하나가 성립한다.
- 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드
의 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상
이다.)
군
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
군
의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 쌍대 분해 불가능 군이다.
- 자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상
에 대하여, 만약
와
가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며,
의 원소와
의 원소가 가환하며,
와
가 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상
역시 자기 동형 사상이 아니다.[2]:156, Corollary 2
- (피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)[2]:156, Corollary 1
군
의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 내림 사슬 조건을 만족시킨다면,
는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 군
의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면,
를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약
가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱
및
와 동형이라면,
이며,
인
가 존재한다.[2]:156–157