표현 가능 함자

범주론에서 표현 가능 함자(表現可能函子, 영어: representable functor)는 어떤 요네다 함자와 자연 동형인 함자이다.

정의[편집]

국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 에서 집합의 범주로 가는 함자 $F$ 의 표현 $(X,\Phi )$ 은 다음과 같은 순서쌍이다.

$X\in {\mathcal {C}}$ 는 ${\mathcal {C}}$ 의 대상이다.
$\Phi \colon \hom(X,-)\implies F$ 는 자연 동형이다.

표현 가능 함자는 적어도 하나의 표현이 존재하는 함자이다.

국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 에서 집합의 범주로 가는 함자 $F$ 의 보편 원소 $(X,u)$ 는 다음과 같은 순서쌍이다.

$X\in {\mathcal {C}}$ 는 ${\mathcal {C}}$ 의 대상이다.
$u\in F(X)$ $u\in F(X)$ 는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
- 임의의 $Y\in {\mathcal {C}}$ 및 $v\in F(Y)$ 에 대하여, $Ff\colon u\mapsto v$ 인 유일한 사상 $f\colon X\to Y$ 가 존재한다.

함자의 표현들은 그 보편 원소와 일대일 대응한다. 표현 $(X,\Phi )$ 에 대응하는 보편 원소 $(X,u)$ 는 다음과 같다.

u=\Phi _{X}(\operatorname {id} _{X})

반대로, 보편 원소 $(X,u)$ 에 대응하는 표현 $(X,\Phi )$ 는 다음과 같다.

\Phi _{Y}(f)=(Ff)(u)\qquad \forall f\in \hom(X,Y)

성질[편집]

주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 동형이다. 즉, $F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$ 의 두 개의 표현 $(X_{1},\Phi _{1})$ , $(X_{2},\Phi _{2})$ 에 대하여,

\Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\hom(\phi ,-)

인 유일한 $\phi \in \hom(X_{1},X_{2})$ 가 존재한다.

예[편집]

${\mathcal {P}}\colon \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$ 가 집합을 그 멱집합으로 대응시키고, 함수를 그 역함수 $f^{-1}\colon S\mapsto \{x\colon f(x)\in S\}$ 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 $(X,u)=(\{0,1\},\{1\})$ 은 보편 원소를 이룬다.

대수 구조 다양체의 범주 ${\mathcal {V}}$ 의 경우, 항상 망각 함자 $F\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set}$ 및 그 수반 함자인 자유 함자 $G\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}$ 가 존재한다. 이 경우, 보편 원소는 $(G(\{\bullet \}),\bullet )$ 이 된다. 여기서 $\{\bullet \}$ 은 크기가 1인 임의의 집합이다.

위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 의 망각 함자 $F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$ 의 보편 원소는 $(\{\bullet \},\bullet )$ 이다. 여기서 $\{\bullet \}$ 은 한원소 공간이다.