멱집합

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
하세 도표로 표현한 \{x, y, z\}의 멱집합 원소들

집합론에서, 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 특정 집합의 모든 부분집합을 모은 집합이다. 집합 S의 멱집합은 표기할 때에는 \mathcal{P}(S), P(S), 2^S, \{0, 1\}^S 등을 사용한다.

공리적 집합론에서는 멱집합 공리에 따라 집합의 멱집합이 존재한다는 것이 보장된다.

성질[편집]

유한 집합 S의 멱집합은 유한 집합이며, 그 크기는

|\mathcal P(S)|=2^{|S|}

이다.

무한 집합의 멱집합은 비가산 집합이며, 그 크기는

|\mathcal P(S)|=2^{|S|}\ge|S|^+>|S|

이다. 여기서 2^{|S|}기수의 거듭 제곱이다. 여기서 |S|^+|S|보다 더 큰 최소의 기수이며, 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면 위의 부등식 \ge은 등식이 된다.

[편집]

집합 S=\{x, y, z\}의 경우, 집합 S의 모든 부분집합은 다음과 같다.

따라서 집합 S에 대한 멱집합 P(S)는 이 부분집합들을 모두 모은 P(S)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\} 가 된다.

바깥 고리[편집]