쾨니그의 정리 (집합론)

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집합론에서, 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다.

정의[편집]

집합 기수의 집합 , 가 주어졌고, 또한 모든 에 대하여

라고 하자. 쾨니그의 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

따름정리[편집]

쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.

칸토어의 정리[편집]

이며 라고 하자. 그렇다면

이다. 이는 칸토어의 정리다.

선택 공리[편집]

이고, 가 임의의 0이 아닌 기수라고 하자. 그렇다면

이다. 이는 선택 공리의 한 형태이다.

공종도의 지수[편집]

가 어떤 무한 기수 의 (최소) 공종 집합이라고 하자. 즉, 이는 순서수들의 집합이다. 또한, 로 놓고, 라고 하자. 그렇다면

이다. 즉, 무한 기수 에 대하여

이다. 여기서 기멜 함수라고 한다.

공종도의 하한[편집]

어떤 무한 기수 와 기수 에 대하여, 항상

이다.

증명은 다음과 같다. 이미 증명된 따름정리에 따라

이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서

이다.

증명[편집]

집합족 가 주어졌고, 임의의 에 대하여 전사 함수

가 존재하지 않는다고 하자. 임의의 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 전사 함수가 아님을 보이면 족하다.

사영 함수

를 정의하여,

를 생각하자. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로,

를 고르자. 그렇다면

이므로, 전사 함수가 아니다.

역사[편집]

헝가리의 수학자 쾨니그 줄러가 1904년에 증명하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. König, J. (1904). 〈Zum Kontinuum-Problem〉. Adolf Krazer. 《Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904》 (독일어). 144–147쪽. 2015년 1월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 4일에 확인함. 
  2. König, J. (1905). “Zum Kontinuum-Problem”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 60 (2): 177–180. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01677263.