가능 공종도
집합론에서, 가능 공종도(可能共終度, 영어: possible cofinalities, 약자 pcf)는 어떤 정칙 기수의 집합의 모든 가능한 초곱들의 공종도들의 집합이다.
정의[편집]
정칙 기수의 집합 이 주어졌다고 하자. 각 기수는 순서수로, 즉 정렬 집합으로 여길 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 은 1차 논리로 서술된다. 그렇다면, 를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, 의 임의의 극대 필터 를 잡아 초곱 을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리에 따라서 마찬가지로 전순서 집합을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도를 정의할 수 있다.
정칙 기수의 집합 의 가능 공종도 는 의 모든 초곱들의 공종도의 집합이다.
여기서 는 위의 극대 필터의 집합이다.
성질[편집]
임의의 정칙 기수의 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.
만약 라면, 다음이 성립한다.
정칙 기수의 집합 와 에 대하여,
라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]
- 임의의 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 가 존재한다.
역사[편집]
응용[편집]
가능 공종도 이론을 사용하여, 기수의 기멜 함수의 다양한 상한을 증명할 수 있다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 와 연속체 함수 로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리(영어: Easton’s theorem)에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지의 성질을 증명할 수 있다.
참고 문헌[편집]
- ↑ 가 나 다 Shelah, Saharon (1992). “Cardinal arithmetic for skeptics”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 26 (2): 197–210. Bibcode:1992math......1251S. ISSN 0273-0979. MR 1112424. arXiv:math/9201251. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6.
- ↑ Burke, Maxim R.; Magidor, Menachem (1990년 12월 14일). “Shelah’s pcf theory and its applications”. 《Annals of Pure and Applied Logic》 (영어) 50 (3): 207–254. ISSN 0168-0072. Zbl 0713.03024. doi:10.1016/0168-0072(90)90057-9.
- ↑ Shelah, Saharon (1978년 3월). “Jonsson algebras in successor cardinals”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 30 (1–2): 57–64. ISSN 0021-2172. MR 0505434. doi:10.1007/BF02760829.
- Shelah, Saharon (2000년 11월 4일). “You can enter Cantor’s paradise!” (영어). Bibcode:2001math......2056S. arXiv:math/0102056.
- Kojman, Menachem (2001). “PCF theory”. 《Topology Atlas Invited Contributions》 (영어) 6 (4): 74–77. Bibcode:2005math......1308K. arXiv:math/0501308.
- Kojman, Menachem (1995). “The A,B,C of pcf: a companion to pcf theory, Part I” (영어). Bibcode:1995math.....12201K. arXiv:math/9512201.
외부 링크[편집]
- Wang, Frédéric (2012년 3월 15일). “Shelah’s PCF theory”. 《Blog de Frédéric》 (영어).
- Steffens, K. (2007). “Lectures on the foundations of pcf-theory” (PDF) (영어).
- Caceido, Andrés E. (2009년 3월 13일). “580 - Cardinal arithmetic (12)”. 《A Kind of Library》 (영어).
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