가능 공종도

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집합론에서, 가능 공종도(可能共終度, 영어: possible cofinalities, 약자 pcf)는 어떤 정칙 기수의 집합의 모든 가능한 초곱들의 공종도들의 집합이다.

정의[편집]

정칙 기수의 집합 이 주어졌다고 하자. 각 기수는 순서수로, 즉 정렬 집합으로 여길 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 은 1차 논리로 서술된다. 그렇다면, 를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, 의 임의의 극대 필터 를 잡아 초곱 을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리에 따라서 마찬가지로 전순서 집합을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도를 정의할 수 있다.

정칙 기수의 집합 가능 공종도 의 모든 초곱들의 공종도의 집합이다.

여기서 위의 극대 필터의 집합이다.

성질[편집]

임의의 정칙 기수의 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 정칙 기수의 집합이다.
  • 이다.

만약 라면, 다음이 성립한다.

  • [1]:4.3 Main Theorem
  • 가 존재한다.[1]:4.3 Main Theorem
  • [2]:1.9 Lemma

정칙 기수의 집합 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]:4.4 Localization Theorem

  • 임의의 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 가 존재한다.

역사[편집]

사하론 셸라흐가 1978년에 도입하였다.[3]

응용[편집]

가능 공종도 이론을 사용하여, 기수기멜 함수의 다양한 상한을 증명할 수 있다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 와 연속체 함수 로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리(영어: Easton’s theorem)에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지의 성질을 증명할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Shelah, Saharon (1992). “Cardinal arithmetic for skeptics”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 26 (2): 197–210. Bibcode:1992math......1251S. ISSN 0273-0979. MR 1112424. arXiv:math/9201251. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6. 
  2. Burke, Maxim R.; Magidor, Menachem (1990년 12월 14일). “Shelah’s pcf theory and its applications”. 《Annals of Pure and Applied Logic》 (영어) 50 (3): 207–254. ISSN 0168-0072. Zbl 0713.03024. doi:10.1016/0168-0072(90)90057-9. 
  3. Shelah, Saharon (1978년 3월). “Jonsson algebras in successor cardinals”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 30 (1–2): 57–64. ISSN 0021-2172. MR 0505434. doi:10.1007/BF02760829. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]