가능 공종도

집합론에서, 가능 공종도(可能共終度, 영어: possible cofinalities, 약자 pcf)는 어떤 정칙 기수의 집합의 모든 가능한 초곱들의 공종도들의 집합이다.

정의

정칙 기수의 집합 $A$이 주어졌다고 하자. 각 기수는 순서수로, 즉 정렬 집합으로 여길 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 $\langle \leq \rangle$은 1차 논리로 서술된다. 그렇다면, $A$를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, $A$의 임의의 극대 필터 ${\mathcal {U}}\subset {\mathcal {P}}(A)$를 잡아 초곱 $\prod A/{\mathcal {U}}$을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리에 따라서 마찬가지로 전순서 집합을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도를 정의할 수 있다.

정칙 기수의 집합 $A$의 가능 공종도 $\operatorname {pcf} A$는 $A$의 모든 초곱들의 공종도의 집합이다.

$\operatorname {pcf} A=\left\{\operatorname {cf} \left(\prod A/{\mathcal {U}}\right)\colon {\mathcal {U}}\in \operatorname {Ultrafilter} (A)\right\}$

여기서 $\operatorname {Ultrafilter} (A)$는 $A$ 위의 극대 필터의 집합이다.

성질

임의의 정칙 기수의 집합 $A$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $\operatorname {pcf} (A)$는 정칙 기수의 집합이다.
• $A\subset \operatorname {pcf} (A)$이다.
  • 이는 주 필터인 극대 필터를 고려하여 알 수 있다.

만약 $|A|<\min A$라면, 다음이 성립한다.

• $|\operatorname {pcf} A|\leq 2^{|A|}$^{:4.3 Main Theorem}
• $\max \operatorname {pcf} A$가 존재한다.^{:4.3 Main Theorem}
• $\operatorname {pcf} \operatorname {pcf} A=\operatorname {pcf} A$^{:1.9 Lemma}

정칙 기수의 집합 $A$와 $B$에 대하여,

$|A|<\min A$

$|B|<\min B$

$B\subset \operatorname {pcf} A$

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.^{:4.4 Localization Theorem}

• $\operatorname {pcf} B\subset \operatorname {pcf} A$
• 임의의 $\kappa \in \operatorname {pcf} B$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 $C_{\kappa }\subset B$가 존재한다.
  • $|C|\leq |A|$
  • $\kappa \in \operatorname {pcf} C$

역사

사하론 셸라흐가 1978년에 도입하였다.

응용

가능 공종도 이론을 사용하여, 기수의 기멜 함수의 다양한 상한을 증명할 수 있다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 $\gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }$와 연속체 함수 $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리(영어: Easton’s theorem)에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지의 성질을 증명할 수 있다.

참고 문헌

• Shelah, Saharon (2000년 11월 4일). “You can enter Cantor’s paradise!” (영어). Bibcode:2001math......2056S. arXiv:math/0102056. 
• Kojman, Menachem (2001). “PCF theory”. 《Topology Atlas Invited Contributions》 (영어) 6 (4): 74–77. Bibcode:2005math......1308K. arXiv:math/0501308. 
• Kojman, Menachem (1995). “The A,B,C of pcf: a companion to pcf theory, Part I” (영어). Bibcode:1995math.....12201K. arXiv:math/9512201. 

바깥 고리

• Wang, Frédéric (2012년 3월 15일). “Shelah’s PCF theory”. 《Blog de Frédéric》 (영어). 
• Steffens, K. (2007). “Lectures on the foundations of pcf-theory” (PDF) (영어). 
• Caceido, Andrés E. (2009년 3월 13일). “580 - Cardinal arithmetic (12)”. 《A Kind of Library》 (영어). 

같이 보기

• 기멜 함수
• 특이 기수 가설