초곱

모형 이론에서 초곱(超곱, 영어: ultraproduct 울트라프로덕트^[*])은 여러 구조들의 곱집합의 동치류 집합 위에 정의된 더 큰 구조이다.

정의

형이 $\sigma$ 인 구조들의 집합 $\{M_{i}\}_{i\in I}$ 및 $I$ 위의 극대 필터 ${\mathcal {U}}$ 가 주어졌다고 하자. $({\mathcal {U}},\subset )$ 는 부분 순서 집합이므로, 이를 범주로 간주할 수 있다. 그렇다면 다음과 같은 함자를 정의하자.

F\colon {\mathcal {U}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}

F\colon S\mapsto \prod _{i\in S}M_{i}

그렇다면, $\{M_{i}\}_{i\in I}$ 의 초곱 $M$ 은 집합으로서 $F$ 의 쌍대극한 $\varinjlim F$ 이다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 순서쌍

\{(S,x)\colon S\in {\mathcal {U}},\;x\in \prod _{i\in I}M_{i}\}\in \bigsqcup _{S'\in {\mathcal {U}}}(S',\prod _{i\in S'}M_{i})

사이에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

(S,x)\sim (S',x')\iff \{i\in I\colon x_{i}=x'_{i}\}\in {\mathcal {U}}

그렇다면

M=\varinjlim F=\left(\bigsqcup _{S'\in {\mathcal {U}}}(S',\prod S')\right)/{\sim }

이다. 여기에 다음과 같은 $\sigma$ -구조를 부여한다. 여기서 ${\vec {x}}=(x_{k})_{k=1,\dots ,n}$ , ${\vec {S}}=(S_{k})_{k=1,\dots ,n}$ , $\bigcap {\vec {S}}=\bigcap _{k=1}^{n}S_{k}$ 따위로 쓰자.

$\sigma$ 의 각 $n$ 항 연산 $m_{i}\colon M_{i}^{n}\to M_{i}$ ( $i\in I$ )에 대하여,

m\colon M^{n}\to M

m\colon [({\vec {S}},{\vec {x}})]\mapsto \left[\left(\bigcap {\vec {S}},m_{i}({\vec {x}}_{i})_{i\in \bigcap {\vec {S}}}\right)\right]

$\sigma$ 의 각 $n$ 항 관계 $R_{i}\subset M_{i}^{n}$ ( $i\in {\mathcal {I}}$ )에 대하여, 다음과 같다.

([({\vec {S}},{\vec {x}})])\in R\iff \left\{i\in I\colon {\vec {x}}_{i}\in R_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}

이는 $\sigma$ 형의 구조를 이룬다는 것을 보일 수 있다.

만약 모든 $M_{i}$ 가 공집합이 아니거나, 아니면 $\{i\in I\colon M_{i}=\varnothing \}\in {\mathcal {U}}$ 라면 $(S,x)$ 에서 $S=I$ 인 경우로 국한할 수 있다. 즉,

M=\left(\prod _{i\in I}M_{i}\right)/{\sim }

으로 정의할 수 있다.

만약 모든 $M_{i}$ 들이 같을 경우, ${\mathcal {M}}$ 의 초곱을 $M$ 의 초거듭제곱(超거듭제곱, 영어: ultrapower 울트라파워^[*])이라고 한다.

워시 정리

워시 정리(영어: Łoś’ theorem)는 1차 논리의 명제가 초곱에서 성립할 필요충분조건을 제공한다. 부호수 $\sigma$ 의 구조의 집합 $\{M_{i}\}_{i\in I}$ 및 극대 필터 ${\mathcal {U}}$ 및 ${\vec {a}}\in M^{n}$ 및 $\sigma$ 에 대한, $n$ 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 명제 $\phi$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.