동치관계

수학에서, 동치 관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 등호와 같은 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.

정의

집합 $X$ 위의 동치 관계 $\sim$는 반사 관계이자 대칭 관계이자 추이 관계인 이항 관계이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다.

• (반사 관계) 임의의 $x\in X$에 대하여, $x\sim x$
• (대칭 관계) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, 만약 $x\sim y$라면, $y\sim x$
• (추이 관계) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, 만약 $x\sim y\sim z$라면 $x\sim z$

동치류와 몫집합

집합 $X$ 위에 동치 관계 $\sim$이 주어졌을 때, 원소 $x\in X$의, 동치 관계 $\sim$에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class)는 다음과 같다.

$[x] = \{y \in X \colon x \sim y \}$

집합 $X$의 $\sim$에 대한 모든 동치류들의 집합

$X/\sim=\{[x]\colon x\in X\}$

을 $X$의 $\sim$에 대한 몫집합이라고 한다.

예

• 정수, 유리수, 실수 등의 등호 관계
• 도형 집합에서의 닮음 관계
• 사람들의 집합에서 같은 생일을 갖는 관계

동치 관계가 아닌 예

• 부등호 기호 $\le$는 동치관계가 아니다. 반사적($a \le a$), 추이적($a \le b \le c$이면 $a \le c$)이지만, 대칭적이지는 않다.

바깥 고리

• “Equivalence relation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Eric Wolfgang Weisstein. “Equivalence relation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.