곱집합

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집합론에서, 두 집합곱집합(영어: product set) 또는 데카르트 곱(영어: Cartesian product)은 두 집합에서 하나씩 고른 두 원소의 순서쌍들의 집합이다.

정의[편집]

두 집합 곱집합 는 다음과 같은, 순서쌍 집합이다.

유한 개의 집합, 예를 들어 , , , 곱집합은 다음과 같은, 튜플 집합이다.

특히, 유한 개의 같은 집합의 곱집합은

으로 표기한다.

보다 일반적으로, 집합들의 집합 곱집합 는 다음과 같은, 함수 집합이다.

특히, 같은 집합들의 첨수족의 곱집합은

로 표기한다.

성질[편집]

공집합과 임의의 집합의 곱집합은 공집합이다.

보다 일반적으로, 공집합을 원소로 포함하는 집합족 의 곱집합은 공집합이다.

선택 공리동치로, 공집합을 원소로 포함하지 않는 집합족 의 곱집합은 항상 공집합이 아니다.

기수의 곱셈의 정의에 따라, 곱집합의 기수는 기수의 곱이다.

[편집]

두 집합

의 곱집합은

이며, 그 크기는 이다.