곱집합

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집합 {x, y, z}와 집합 {1, 2, 3}의 곱집합의 원소를 나열한 표
집합 A = {x, y, z}와 B = {1, 2, 3}의 곱집합 A × B.
52장의 포커 패를 모양에 따라 한 줄에 13장씩 숫자가 커지는 순으로 나열한 것
52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 {♠, , ♣, }과 숫자의 집합 {2, ..., 10, J, Q, K, A}의 곱집합이라 생각할 수 있다.

집합론에서, 곱집합(곱集合, 영어: product set , product) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 영어: Cartesian product 카티지언 프로덕트[*])는 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 의 곱집합 이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합범주에서의 이다.

정의[편집]

첨수된 집합족 의 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 유한 개의 집합 의 곱집합 은 다음과 같다.

집합 에 대하여, 번 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 집합 순서수 에 대하여, 번 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 집합 및 음이 아닌 정수 에 대하여, 번 곱집합 은 다음과 같다.

성질[편집]

y축에 A = [1, 4]를 표시하고, x축에 B = [2, 5], C = [4, 7]을 표시한 뒤, 직교 좌표 평면에 A와 B ∪ C 및 B ∩ C 및 B \ C의 곱집합을 표시한 것
분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 A = [1, 4], B = [2, 5], C = [4, 7].
x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 직교 좌표 평면에 (A ∪ B) × (C ∪ D), (A × C) ∪ (B × D)를 표시한 것
(AB) × (CD) ⊋ (A × C) ∪ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].
x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 직교 좌표 평면에 (A ∩ B) × (C ∩ D), (A × C) ∩ (B × D)를 표시한 것
(AB) × (CD) = (A × C) ∩ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].
  • (기수의 곱의 정의)
  • (기수의 거듭제곱의 정의)
  • (교환 법칙의 실패)
    • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
  • (결합 법칙의 실패)
    • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
  • (분배 법칙)
  • (분배 법칙)
  • (분배 법칙)
  • 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
    • 가 존재하거나, 임의의 에 대하여 이다.
  • 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
    • 가 존재한다.
  • 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
  • (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 에 대하여, ()를 만족시키는 유일한 함수 가 존재한다.

[편집]

직교 좌표 평면 실수선 과 자기 자신의 곱집합이다.

역사[편집]

르네 데카르트의 이름을 땄다.

외부 링크[편집]