튜플

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튜플(tuple)은 유한 개의 사물의 순서있는 열거이다. n 개의 요소를 가진 튜플을 n-튜플(n-tuple) 또는 n중쌍, n이라고 한다. 비어있는 은 유일한 0-튜플이다. 임의의 n-튜플은 순서쌍의 개념을 이용하여 재귀적으로 정의된다. 튜플은 다른 수학 개념들(예를 들어 벡터)을 나타내는 데에 자주 사용된다.

튜플은 보통 원소들을 괄호 '( )'안에 쉼표 ','로 구분되게 나열하여 표시한다. 5-튜플의 예를 들면 (2, 7, 4, 1, 7)와 같다. 때로는 대괄호 '[ ]'나 화살괄호 '< >'와 같은 다른 부호를 사용하기도 한다. 중괄호 '{ }'는 집합을 표시할 때 쓰이기 때문에 튜플 표시에는 사용하지 않는다.

컴퓨터 과학에서, 튜플은 어떤 요소의 집합, 혹은 테이블에서의 행을 가리킨다(레코드와 동일한 의미). 단, 일반적인 집합과는 달리 중복이 허용될 수 있다.

튜플의 개념은 언어학[1]철학[2]에서도 사용된다.

성질[편집]

튜플의 기본 성질은 두 튜플이 같을 필요충분조건으로 나타내어진다. 일반적으로 두 n-튜플

이 같다는 건 같은 위치의 성분이 각각 같다는 것, 즉 다음과 동치이다.

때문에 튜플은 집합과 구분되는 여러 성질을 갖는다.

  1. 중복된 원소가 있을 수 있다. 튜플의 원소를 중복해서 쓰면 다른 튜플이 된다. 예: (1, 2, 3) ≠ (1, 2, 2, 3), 하지만 집합 {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3}
  2. 정해진 순서가 있다. 튜플의 원소의 순서를 바꾸면 다른 튜플이 될 수 있다. 예: (1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1), 하지만 집합 {1, 2, 3} = {3, 2, 1}
  3. 튜플의 원소의 개수는 유한하다. 하지만 집합, 중복집합은 원소 개수가 무한할 수도 있다.

정의법[편집]

튜플에게 위의 성질을 부여할 수 있는 정의법으로 다음이 있다.

함수[편집]

n-튜플을 튜플의 성분들의 첨수들의 집합을 정의역, 튜플의 성분들이 이루는 집합을 공역으로 하는 함수로 정의할 수 있다. 즉 형식적으로

여기서

덜 형식적인 표현은 다음과 같다.

내포된 순서쌍[편집]

집합론에서 쓰이는 한 가지 방법은 튜플을 내포된(nested) 순서쌍으로서 정의하는 것이다. 순서쌍은 미리 정의하여야 한다.

  1. 0-튜플, 즉 비어있는 튜플은 공집합 로 정의한다.
  2. 양의 정수 n에 대해, n-튜플은 n-튜플의 첫 성분을 첫 성분으로 하고, 나머지 성분들로 이루어진 (n-1)-튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다.

이 정의를 조금 큰 n에 대해 펼쳐보면 다음과 같다.

예를 들면

위 정의에서 방향만 바뀐 경우인 다음의 정의법도 있다.

  1. 0-튜플은 공집합이다.
  2. n > 0에 대해, n-튜플은 다음과 같은 순서쌍이다.

내포된 집합[편집]

두번째 정의법에서 순서쌍의 쿠라토프스키 정의를 쓰면 튜플을 집합만으로 정의내릴 수 있다.

  1. 0-튜플은 공집합 이다.
  2. xn-튜플 (a1, a2,... , an)이라 하자. 끝에 b를 추가한 튜플 xb = (a1, a2,... , an, b)는 다음과 같은 집합이다.

예를 들면

m 원소 집합의 n-튜플[편집]

이산수학, 특히 조합론과 (유한) 확률론에서, n-튜플은 세기 문제 등 다양한 곳에서 등장하며, 덜 엄밀하게 길이 n의 순서있는 목록으로서 처리된다.[3] m 개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 n-튜플을 중복순열이라고 부른다. 이러한 튜플의 수는 mn이다(곱의 법칙에 의해).[4] 다른 관점에서, 집합 S크기m이라면, 곱집합 S × S × ... × S의 크기는 mn이다.

형 이론[편집]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. “N‐tuple - Oxford Reference”. 《oxfordreference.com》 (영어). 2015년 5월 1일에 확인함. 
  2. “Ordered n-tuple - Oxford Reference”. 《oxfordreference.com》 (영어). 2015년 5월 1일에 확인함. 
  3. D'Angelo & West 2000, 9쪽
  4. D'Angelo & West 2000, 101쪽

참고 문헌[편집]

  • Takeuti, Gaisi; Zaring, Wilson M. (1971), 《Introduction to axiomatic set theory》, Graduate Texts in Mathematics 1, New York-Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90683-5, MR 0349390