정의역

함수 $f\colon X\to Y$이다. 빨간색 점의 집합 X는 함수 f의 정의역이다.

수학에서, 어떤 함수의 정의역(定義域, 영어: domain)은 함수가 그 위에 정의된 집합이다.

정의

수학에서, 함수 $f\colon X\to Y$는 집합 $X$의 각 원소에 대하여 $Y$의 한 원소를 대응시키는 수학적 대상이다. 이 경우 $X$를 $f$의 정의역이라고 한다. 반면, $Y$는 $f$의 공역이다.

예

함수 $f$가 두 집합

$X=\{1,2,3\}$

$Y=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

과 그 사이의 관계

$f(1)=2$

$f(2)=4$

$f(3)=6$

로 이루어졌다고 하자. (이 관계는 간단히 $f(n)=2n$으로 적을 수 있다.) 그렇다면, 함수 $f$의 정의역은 $X$이다. (공역은 $Y$, 치역은 $\{2,4,6\}$이다.)

정의역과 공역이 실수의 집합 $\mathbb {R}$의 부분집합인 경우, 간혹 정의역과 공역을 생략하기도 한다. 예를 들어,

$f(x)={\frac {1}{x}}$

는 정의역이 $\{x\in \mathbb {R} \colon x\neq 0\}$인 함수를 나타낸다. 마찬가지로,

$g(x)=x-1$

은 정의역이 $\mathbb {R}$ 전체인 함수를 나타내며,

$h(x)={\sqrt {x}}$

는 정의역이 $\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq 0\}$인 함수를 나타낸다. 세 함수의 합성

$h(g(f(x)))={\sqrt {{\frac {1}{x}}-1}}$

의 자연스러운 정의역은 분수의 분모가 0이 아니게 되고 ($x\neq 0$), 제곱근을 가하는 수가 음이 아니게 되는 ($1/x-1\geq 0$) 실수 $x$의 집합이며, 이는 $\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leq 1\}$이다.

같이 보기

• 공역
• 상 (수학)
• 소박한 집합론
• 치역
• 지지집합