대응 (수학)

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대응(correspondence,對應)이란,

두 집합이 있을 때, 한 집합의 원소가 다른 집합의 원소와 짝을 이루는 것을 말한다. 집합 X의 원소가 집합 Y의 원소에 어떤 주어진 관계에 의하여 짝지어지는 것을 집합 X에서 집합 Y로의 대응이라고 한다.

여기서 '집합 X에서 집합 Y로의 대응'이라는 말은 한 집합에서 다른 집합의 방향으로 원소가 짝지어짐을 말하는 데, 두 집합의 대응방향에 따라서 두 집합의 각 임의의 원소가 독립변수가 될지, 종속변수가 될지가 결정된다. 즉, 출발하는 집합의 임의의 원소는 독립변수. 도착하는 집합의 임의의 원소는 종속변수가 되는 것이다.

두 집합 중에서 어떤 집합이 출발하는 집합이 되고 어떤 집합이 도착하는 집합이 될지의 관계를 통해 그 집합의 임의의 원소가 독립변수가 될지 종속변수가 될지가 결정되는 것은 함수와 매우 밀접한 관련이 있다.

x에 대한 y의 함수 y=f(x)에서 값이 정해지는 변수 x는 독립변수, x의 값이 정해짐에 따라 값이 저절로 구해지는 변수 y는 종속변수로 취급되는 것에서 말이다. 여기서 알 수 있듯, 변수 x는 출발하는 수이고, 변수 y는 도착하는 수이다. 이러한 관계를 대응과 관련지어 생각해본다면, 함수를 더 깊이있게 연구할 수 있음은 말할 필요도 없다.

함수를 대응과 관련지어 생각함으로, 대응의 개념은 일대일대응, 일대다대응, 일의 대응과 같이 세분화되었고, 이러한 개념들은 x, y에 대한 방정식 f(x, y)=0 이 함수인지 아닌지를 판별해줄 수 있는 대표적인 개념이 되었다.

대응으로부터 정의된 함수[편집]

집합 X의 원소 에 집합 Y의 원소 가 어떤 주어진 관계에 의해 대응되는 것을 기호로 간단히

로 나타낸다.

예컨대, 집합 X={x|x는 실수}의 원소에 집합 Y={y|y=2x+1}의 원소가 대응되면

3 → 7 , -2 → -3 와 같이 나타낼 수 있다.

이와같이 예를 든 경우는, 집합 X의 모든 원소는 반드시 Y의 원소에 하나씩만 대응된다. 이런 경우는 대응 중에서도 특별한 경우로, 함수(Function)라고 부른다.


함수는 집합 X의 모든 원소가 집합Y의 원소에 하나씩만 대응하므로, 이러한 대응의 관계는 집합적인 관계로 기호화하여 나타낸다면 매우 편리하기때문에,

집합은 기호로 간단히 f: X → Y로 나타낸다.

f: X → Y에서 X → Y로 나타냈다고 해서, 집합 X의 모든 원소가 모든 Y의 원소에 대응되지 않는다. 즉, 함수 f: X → Y 에서는 집합 X의 모든 원소가 집합 Y의 어떤 원소들에게 유일하게 대응될 뿐, 모든 원소들에게 유일하게 대응된다고 보장할 수는 없는 없기 때문에, 대응되는 Y의 원소들을 따로 구분해놓을 필요가 있다.

즉, 함수 f: X → Y에 대하여 집합 X에 대응되는 집합 Y의 원소들의 모임이 치역, 집합 Y 그 자체를 공역이라 한다. 이러한 정의에서 볼 수 있듯이, 치역은 항상 공역의 부분집합이다.
한편, 함수 X → Y에 대하여 집합 X 그 자체를 정의역이라고 한다.

이처럼, 함수를 비롯한 함수와 관련된 핵심적인 용어들은 대체적으로 '대응'을 통해서 정의된다.