치역

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수학에서 함수치역(値域, 영어: range)이라고 하는 것은 함수의 모든 "출력"값의 집합이다. 다시 말해, 정의역이다.

정의[편집]

정의역X, 공역Y인 함수 f\colon X\to Y치역 \operatorname{ran}f은 다음과 같은 공역부분집합이다.

\operatorname{ran}f=f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}\subset Y

치역과 공역이 같은 함수를 전사함수라고 한다. 일반적으로 치역은 공역과 다르다. 치역은 공역의 부분집합이지만 공역의 모든 원소들이 치역의 원소일 필요는 없다.

예제[편집]

함수 f실수 집합에서

f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}
f(x) \,=\, x^2

과 같이 정의되는 함수라고 하자.

f\,의 공역은 \mathbb{R}이고 f\,는 모든 음이 아닌 실수 값이지만 음수값은 갖지 않는다. 따라서 치역 \mathbb{R}_0^+는 음이 아닌 실수, 즉 구간 (0,\infty)이므로

0\leq f(x)<\infty.

이다. 이제 g\,실수 집합에서

g\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}
g(x) \,=\, 2x

와 같이 정의된다고 하자.

이 경우에 y\,는 어떤 실수든지 될 수 있으므로, g\,의 상은 공역인 \mathbb{R}과 같다.

 g\left(\frac y 2 \right) = y

다른 말로 g\,\mathbb{R} 상의 전사함수라고 한다.

같이 보기[편집]