여집합

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집합론에서, 집합 A여집합(餘集合, 또는 보집합(補集合), complement set) AC는, 전체집합 U의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다. 집합 B에 대한 A차집합(差集合, relative complement, set difference) BA는, B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다.

여집합은 차집합의 특수한 예이다. 반대로 말해, 차집합은 여집합을 일반화한 개념이다.

여집합[편집]

벤 다이어그램으로 표현한 여집합 AC

전체집합 U가 정의되었을 때, 그의 부분집합 집합 A여집합AC, A', A, UA, A, 또는 UA로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

A^C = \{x\in U : x\notin A\}

다른 말로,

임의의 xU에 대해, xAC일 필요충분조건은 xA.

여집합 연산의 성질에 대해서는 집합대수 글 참고. 다음은 여집합의 간단한 예이다.

  • {1, 2, 3, 4, 5, 6}을 전체집합이라 하면, {2, 3, 4, 5}의 여집합은 {1, 6}이다.
  • 실수 집합을 전체집합이라 하면, 양수의 집합의 여집합은 음수와 영의 집합, 유리수 집합의 여집합은 무리수집합이다.

차집합[편집]

벤 다이어그램으로 표현한 차집합 BA

집합 B에 대한 A차집합BA 또는 B - A로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

B\setminus A = \{x\in B : x \notin A\}

임의의 대상 x에 대해, xBA일 필요충분조건은 xB 또한 xA.

여집합은 부분집합 관계인 두 집합의 차집합과 같다. U에서의 A의 여집합은 곧 차집합 UA이다.

차집합 연산의 성질에 대해서는 집합대수 글 참고. 다음은 차집합의 간단한 예이다.

  • {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1}
  • {2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = {4}

위 문단의 여집합 예시인

  • {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {2, 3, 4, 5} = {1, 6}
  • \scriptstyle{\R \setminus \Q = \mathbb{I}}

는 차집합의 예시이기도 하다.

같이 보기[편집]