약콤팩트 기수

집합론에서 약콤팩트 기수(弱compact基數, 영어: weakly compact cardinal)는 그 만큼 무한한 수의 항들의 논리합 및 제한 기호 $\forall$를 사용하는 무한 논리에서, 약한 형태의 콤팩트성 정리가 성립하는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

비가산 기수에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 약콤팩트 기수라고 한다.

• $[\kappa ]^{2}=\{S\subset \kappa \colon |S|=2\}$라고 하자. 그렇다면 임의의 함수 $f\colon [\kappa ]^{2}\to \{0,1\}$에 대하여, $[S]^{2}\subset f^{-1}(0)$ 또는 $[S]^{2}\subset f^{-1}(1)$인 $S\subset \kappa$가 존재한다.
• 크기가 $\kappa$인 임의의 전순서 집합은 순서형이 $\kappa$인 정렬 부분 집합을 갖는다.
• (확장성 영어: extension property) 임의의 $U\subset V_{\kappa }$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합 $X$ 및 그 부분집합 $S\subset X$가 존재한다.
  • $(V_{\kappa },\in ,U)$는 $(X,\in ,S)$의 기본적 부분 구조이다. 여기서 $U$와 $S$는 (같은) 1항 관계로 여긴다.
• 무한 논리 $L_{\kappa ,\kappa }$는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 이론 ${\mathcal {T}}\subset L_{\kappa ,\kappa }$에 대하여, 만약 $|{\mathcal {T}}|\leq \kappa$라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • 만약 모든 ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {T}}$에 대하여, $|{\mathcal {S}}|<\kappa$라면 ${\mathcal {M}}_{\mathcal {S}}\models {\mathcal {S}}$인 구조 ${\mathcal {M}}_{\mathcal {S}}$가 존재한다.
  • ${\mathcal {M}}\models {\mathcal {T}}$인 구조 ${\mathcal {T}}$가 존재한다.
• 무한 논리 $L_{\kappa ,\omega }$는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

성질

모든 말로 기수(영어: Mahlo cardinal)는 약콤팩트 기수이다. (따라서 모든 도달 불가능한 기수는 약콤팩트 기수이다.) 모든 강콤팩트 기수는 약콤팩트 기수이다.

역사

에르되시 팔과 알프레트 타르스키가 도입하였다.

참고 문헌

• Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Solovay, Robert M.; Reinhardt, William N.; Kanamori, Akihiro (1978년 2월). “Strong axioms of infinity and elementary embeddings” (PDF). 《Annals of Mathematical Logic》 (영어) 13: 73–116. doi:10.1016/0003-4843(78)90031-1. 

외부 링크

• “Weakly compact cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2014년 12월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 27일에 확인함. 

같이 보기

• 강콤팩트 기수
• 무한 논리
• 콤팩트성 정리