콤팩트성 정리

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수리논리학에서 콤팩트성 정리(compact性定理, 영어: compactness theorem)는 1차 논리명제들의 집합모형을 가질 필요충분조건은 그 임의의 유한 부분집합이 모형을 갖는 것이라는 내용이다. 1차 논리보다 강력한 논리에 기반한 이론에서 콤팩트성은 성질로 보기에는 너무 강력하므로, 고차 논리에서는 콤팩트성을 더 일반화한 개념을 사용해야 한다.

콤팩트 공간의 임의의 곱이 여전히 콤팩트 공간이라는 티호노프의 정리를 콤팩트 스톤 공간에 적용하면 가장 기본적인 경우인 명제 논리의 콤팩트성 정리를 얻으며[1], 이에 따라 콤팩트성 정리라는 이름이 붙여졌다.

응용[편집]

위의 정리를 이용하여, 어떤 1차 논리적 명제가 특성치 0인 임의의 에 대해 성립한다면, 상수 p가 존재해서 특성치가 p보다 큰 임의의 체에 대해 이 명제가 성립함을 알 수 있다. 증명은 다음과 같다: φ가 그 명제일 때, 가정에 따라 그 부정 ¬φ와 체의 공리들 및 무한개의 명제들 1+1≠0, 1+1+1≠0, …로 이루어진 집합의 모형은 존재하지 않는다. 그러므로 그 집합의 어떤 유한 부분집합이 모형을 갖지 않으며, 이는 달리 말하면 특성치가 몇몇 유한한 자연수들 중 하나가 아니면서 ¬φ가 성립하는 체가 존재하지 않는다는 뜻이므로 증명이 끝난다.

참고 문헌[편집]

  1. Truss, John K. (1997). 《Foundations of Mathematical Analysis》. Oxford University Press. ISBN 0198533756

같이 보기[편집]