함수의 합성

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함수 . 예를 들어 이다.

수학에서, 함수의 합성(函數의合成, 영어: function composition) 또는 합성 함수(合成函數, 영어: composite function)는 한 함수공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.

정의[편집]

임의의 집합 , , 및 두 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성 는 다음과 같은 함수이다.

함수의 합성 가 정의되려면, 공역정의역에 포함되어야 한다.

성질[편집]

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 , , , 및 함수

가 주어졌을 때,

이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.

증명:

임의의 에 대하여

이므로

이다.

임의의 집합 및 이를 정의역공역으로 하는 두 함수 가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성 , 을 정의할 수 있다. 이 경우 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수체이고,

라고 하면,

이며,

이므로 이다.

외부 링크[편집]