완비 불 대수

순서론에서 완비 불 대수(完備Boole代數, 영어: complete Boolean algebra)는 완비 격자인 불 대수이다.

정의

순서론적 정의

완비 불 대수는 완비 격자인 불 대수이다. 두 완비 불 대수 사이의 완비 불 대수 준동형은 완비 격자 준동형이자 불 대수 준동형인 함수이다.

마찬가지로, 임의의 기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa$-완비 불 대수는 크기 $\kappa$ 미만의 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 불 대수이며, $\kappa$-완비 불 대수 준동형은 크기 $\kappa$ 미만의 상한과 하한을 보존하는 불 대수 준동형이다. $\aleph _{0}$-완비 불 대수는 불 대수와 같은 개념이며, $\aleph _{1}$-완비 불 대수는 시그마 대수라고 한다.

위상수학적 정의

불 대수와 불 대수 준동형의 범주는 스톤 공간과 연속 함수의 범주의 반대 범주이다. 이 경우, 불 대수 $B$에 대응하는 스톤 공간 $\operatorname {Spec} (B)$이 주어졌을 때, 만약 다음 조건이 성립한다면 $B$를 완비 불 대수라고 한다.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq \operatorname {Spec} (B)$의 폐포는 열린집합이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

	완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
					⇓
	⇓		⇓		시그마 대수
					⇓
원순서 집합 ⇐ 부분 순서 집합 ⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

기초적 성질

임의의 완비 불 대수 $B$의 원소 $b\in B$ 및 부분 집합 $A\subseteq B$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (무한 분배 법칙) $\textstyle b\land \bigvee A=\bigvee _{a\in A}(b\land a)$
• (무한 분배 법칙) $\textstyle b\lor \bigwedge A=\bigwedge _{a\in A}(b\lor a)$
• (무한 드 모르간 법칙) $\textstyle \lnot \bigvee A=\bigwedge _{a\in A}(\lnot a)$
• (무한 드 모르간 법칙) $\textstyle \lnot \bigwedge A=\bigvee _{a\in A}(\lnot a)$

크기

기수 $\kappa$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $|B|=\kappa$인 완비 불 대수 $B$가 존재한다.
• $|B|=\kappa$인 시그마 대수($\aleph _{1}$-완비 불 대수) $B$가 존재한다.
• 만약 $\kappa$가 무한 기수라면, $\kappa ^{\aleph _{0}}=\kappa$이다. 만약 $\kappa$가 유한 기수라면, $\kappa =2^{n}$인 기수 $n$이 존재한다.

시코르스키 확장 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 불 대수 ${\tilde {B}}$의 부분 불 대수 $B\subseteq {\tilde {B}}$
• 완비 불 대수 $C$
• 불 대수 준동형 $f\colon B\to C$

시코르스키 확장 정리(영어: Sikorski extension theorem)에 따르면, $f={\tilde {f}}|_{B}$가 성립하는 불 대수 준동형 ${\tilde {f}}\colon {\tilde {B}}\to C$가 존재한다.

매장 가능성

부분 순서 집합 $(P,\leq )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 순서 집합을 분리 부분 순서 집합(分離部分順序集合, 영어: separative poset)이라고 한다.

• 임의의 $x,y\in P$에 대하여, $x\not \leq y$라면, 임의의 $z\leq x$에 대하여, $\{z,y\}$는 하계를 갖지 않는다.^{:204, Definition 14.8}
• $P\cong S$가 되는 완비 불 대수 $B$와 부분 집합 $S\subseteq B\setminus \{\bot _{B}\}$가 존재한다.^{:205, Lemma 14.9, Theorem 14.10} ($\cong$은 순서 동형이다.)

범주론적 성질

완비 불 대수와 완비 불 대수 준동형의 범주 $\operatorname {CompBoolAlg}$는 구체적 범주이며, 완비 격자와 완비 격자 준동형의 범주 $\operatorname {CompLat}$의 충만한 부분 범주이다.

망각 함자

$\operatorname {CompBoolAlg} \to \operatorname {Set}$

는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다. 즉, 자유 완비 불 대수는 일반적으로 존재하지 않는다. 그러나 임의의 기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa$-완비 불 대수 및 $\kappa$-완비 불 대수 준동형의 범주 $\operatorname {CompBoolAlg} _{\kappa }$의 경우 자유 대상이 존재한다.

특히, $\operatorname {CompBoolAlg}$는 쌍대 완비 범주가 아니다.

예

모든 유한 불 대수는 완비 불 대수이다.

멱집합

완비 불 대수 $B$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $B\cong ({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$인 집합 $S$가 존재한다.
• 임의의 원소 $b\in B$에 대하여, $\textstyle b=\bigvee A$인 $A\subseteq \min(B\setminus \{\bot \})$가 존재한다.

특히, 후자가 성립한다면

$B\cong {\mathcal {P}}(\min(B\setminus \{\bot \}))$

이다. 여기서 $\min(B\setminus \{\bot \})$는 부분 순서 집합 $B\setminus \{\bot \}$의 극소 원소들의 집합이며, $\bot \in B$는 $B$의 최소 원소이다. $B\setminus \{\bot \}$의 원소는 보통 원자(영어: atom)라고 한다.

위상 수학

위상 공간 $X$의 정칙 열린집합들의 족은 완비 불 대수를 이룬다.

역사

시코르스키 확장 정리는 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983)가 증명하였다.

외부 링크

• “Complete Boolean algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “CompBoolAlg”. 《nLab》 (영어). 
• “Examples for “nice” Boolean algebras that are not complete or not atomic” (영어). Math Overflow.