요르단 대수

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수학에서, 요르단 대수(영어: Jordan algebra)는 교환법칙을 따르지만 결합법칙을 따르지 않을 수 있는 대수의 일종이다.

정의[편집]

라고 하다. 에 대한 요르단 대수 는 다음 공리들을 만족시키는 에 대한 대수다. 임의의 에 대하여,

  • (교환법칙)
  • (요르단 항등식 영어: Jordan identity)

일반적으로, 요르단 대수는 결합법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라 다음을 보일 수 있다.

형식적 실수 요르단 대수(영어: formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 다.

임의의 에 대하여, 이다.

분류[편집]

실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.[1] 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(영어: simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

  • 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  • 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  • 복소 해밀턴 행렬(= 사원수 에르미트 행렬)들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  • 으로 생성되고 조건 을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(영어: spin factor) 또는 클리퍼드형 대수(영어: Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
  • 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다. 이를 예외 요르단 대수(영어: exceptional Jordan algebra) 또는 앨버트 대수(영어: Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.
기호 실수 차원 이름 정의
실수 대칭 행렬 대수
복소 에르미트 행렬 대수
사원수 에르미트 행렬 대수
스핀 인자
또는 27 앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수)

역사[편집]

파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학관측가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다.[1][2][3] 가 에르미트 관측가능량이라면 또한 관측가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

참고 문헌[편집]

  1. Jordan, Pascual; John von Neumann, Eugene Wigner (1934). “On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism”. 《Annals of Mathematics (Second Series)》 (영어) 35 (1): 29–64. doi:10.2307/1968117. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968117. MR 1503141. Zbl 0008.42103. 
  2. Jordan, Pascual (1933). “Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik”. 《Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I》 (독일어) 41: 209–217. JFM 59.0796.02. Zbl 0007.08502. 
  3. Jordan, Pascual (1933년 5월). “Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 80: 285–291. Bibcode:1933ZPhy...80..285J. doi:10.1007/BF01333854. 

바깥 고리[편집]