요르단 대수

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수학에서, 요르단 대수(영어: Jordan algebra)는 교환법칙을 따르지만 결합법칙을 따르지 않을 수 있는 대수의 일종이다.

정의[편집]

k라고 하다. k에 대한 요르단 대수 A는 다음 공리들을 만족시키는 k에 대한 대수다. 임의의 x,y\in A에 대하여,

일반적으로, 요르단 대수는 결합법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라 다음을 보일 수 있다.

(x^my)x^n=x^m(yx^n)

형식적 실수 요르단 대수(영어: formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 A다.

임의의 x_1,\dots, x_n\in A\setminus\{0\}에 대하여, x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\ne0이다.

분류[편집]

실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.[1] 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(영어: simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

  • n\times n 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다.
  • n\times n 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다.
  • 2n\times 2n 복소 해밀턴 행렬(=n\times n 사원수 에르미트 행렬)들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다.
  • \mathbb R^n으로 생성되고 조건 x^2=\lVert x\rVert^2을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 n+1차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(영어: spin factor) 또는 클리퍼드형 대수(영어: Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
  • 3\times 3 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다. 이를 예외 요르단 대수(영어: exceptional Jordan algebra) 또는 앨버트 대수(영어: Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.
기호 실수 차원 이름 정의
\operatorname H_n(\mathbb R) n(n+1)/2 n\times n 실수 대칭 행렬 대수 M\circ N=(MN+NM)/2
\operatorname H_n(\mathbb C) n^2 n\times n 복소 에르미트 행렬 대수 M\circ N=(MN+NM)/2
\operatorname H_n(\mathbb H) n(2n-1) n\times n 사원수 에르미트 행렬 대수 M\circ N=(MN+NM)/2
\operatorname{JSpin}_n n+1 스핀 인자 \mathbb R\oplus\mathbb R^n (r,\mathbf u)\circ(s,\mathbf v)=(rs+\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle,r\mathbf v+s\mathbf u)
\operatorname H_3(\mathbb O) 또는 \mathbb{A} 27 앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수) M\circ N=(MN+NM)/2

역사[편집]

파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학관측가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다.[1][2][3] X,Y가 에르미트 관측가능량이라면 X\circ Y=(XY+YX)/2 또한 관측가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

참고 문헌[편집]

  1. Jordan, Pascual; John von Neumann, Eugene Wigner (1934). “On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism”. 《Annals of Mathematics (Second Series)》 (영어) 35 (1): 29–64. doi:10.2307/1968117. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968117. MR 1503141. Zbl 0008.42103. 
  2. Jordan, Pascual (1933). “Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik”. 《Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I》 (독일어) 41: 209–217. JFM 59.0796.02. Zbl 0007.08502. 
  3. Jordan, Pascual (1933년 5월). “Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 80: 285–291. Bibcode:1933ZPhy...80..285J. doi:10.1007/BF01333854. 

바깥 고리[편집]