요르단 대수

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추상대수학에서, 요르단 대수(Jordan代數, 영어: Jordan algebra)는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.[1][2][3][4]

정의[편집]

쌍선형 형식을 통한 정의[편집]

2가 가역원가환환 위의 요르단 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • -가군
  • 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산
  • 이항 연산의 항등원

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • (요르단 항등식 영어: Jordan identity)

(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

이차 형식을 통한 정의[편집]

가환환 위의 요르단 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • -가군
  • 원소
  • 함수 ,

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

  • ()

또한, 이 공리들은 의 임의의 스칼라 확장 에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.

첫째 정의 둘째 정의 결합 대수일 경우

그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

연산[편집]

직합[편집]

같은 가환환 위의 두 요르단 대수 , 가 주어졌을 때, 그 직합 을 정의할 수 있다. -벡터 공간으로서 이는 벡터 공간직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수(영어: irreducible Jordan algebra)라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.[5]:38, §5

[편집]

가환환 위의 요르단 대수 요르단 아이디얼(영어: Jordan ideal)은 다음과 같은 -부분 가군 이다.

로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.

요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수(영어: quotient Jordan algebra)

를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 이 주어졌을 때, 그 핵 은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 (라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼()을 갖는 요르단 대수를 단순 요르단 대수(單純Jordan代數, 영어: simple Jordan algebra)라고 한다.

동위 연산[편집]

가환환 위의 요르단 대수 의 임의의 원소 에 대하여, 전단사 함수라고 하자 (즉, ). 그렇다면, 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.

만약 라면, 새 이항 연산 은 다음과 같다.

이 요르단 대수 구조를 라고 하며, 이를 동위(同位, 영어: isotope)라고 한다.[1]:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(1–2) (가 가역원이라는 조건은 의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.

이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다..[1]:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(4)

피어스 분해[편집]

요르단 대수 에서, 만약 어떤 원소 를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.

이에 따라서, 만약 이며 가 유한 차원이라면, 에 의한 왼쪽 곱셈 사상 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, 는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

이를 피어스 분해(영어: Peirce decomposition)라고 한다.

구조 리 대수[편집]

가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, 가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

이며, 리 괄호의 것이며, 미분 리 대수이다.

이에 따라서, -벡터 공간

위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 -리 대수로 만들 수 있다.

이를 요르단 대수 구조 리 대수(構造Lie代數, 영어: structure Lie algebra)라고 한다.[1]:12, §Ⅰ.0.3

물론, 의 항등원 은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 -리 대수

를 정의할 수 있다.

성질[편집]

일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 에서 다음이 성립한다.

  • (멱결합성 영어: power-associativity) 임의의 원소 에 대하여, 로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히, ()과 같은 표현이 잘 정의된다. (그러나 일반적으로 곱셈 항등원이 존재하지 않으므로, 은 존재하지 않을 수 있다.)

두 명제의 증명:

편의상, 결합자

를 정의하자.

우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.

요르단 항등식에 의하여,

를 전개하고, 에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.

수학적 귀납법을 사용하여, 에 대하여 이 잘 정의된다고 하자. 이제,

임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해

이므로, 이를 통해

이다. 그런데 로 놓으면

이 되어, 즉 이 된다.

맥도널드 원리[편집]

3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 이 주어졌다고 하자. 만약

  • 에 대하여 1차 이하이며,
  • 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,

는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리(영어: Macdonald principle)라고 한다.[1]:199, Theorem Ⅱ.5.1.1 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

형식적 실수 요르단 대수[편집]

형식적 실수 요르단 대수(영어: formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 다.

임의의 에 대하여, 이다.

분류[편집]

실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.[5] 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(영어: simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

  • 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  • 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  • 사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
  • 으로 생성되고 조건 을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(영어: spin factor) 또는 클리퍼드형 대수(영어: Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
  • 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다. 이를 예외 요르단 대수(영어: exceptional Jordan algebra) 또는 앨버트 대수(영어: Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.
기호 실수 차원 이름 정의
실수 대칭 행렬 대수
복소 에르미트 행렬 대수
사원수 에르미트 행렬 대수
스핀 인자
또는 27 앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수)

여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.

[5]:50, §12
[5]:50, §13

구체적으로,

로 잡으면,

임을 알 수 있다 (크로네커 델타).

[편집]

자명한 요르단 대수[편집]

임의의 가환환 에 대하여, 0차원 또는 1차원 -자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙교환 법칙을 따른다.

결합 대수에 대응되는 요르단 대수[편집]

표수가 2가 아닌 위의 임의의 결합 대수 가 주어졌을 때,

를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.

증명:

요르단 항등식을 증명하면 족하다.

이는 -결합 대수범주에서 -요르단 대수의 범주로 가는 함자

를 정의한다.

자유 요르단 대수[편집]

주어진 위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수(영어: free Jordan algebra)의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자

왼쪽 수반 함자가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 -벡터 공간이다.

하나의 원소 로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 이다.

응용[편집]

요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.[6]

역사[편집]

파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다.[5][7][8] 가 에르미트 관측 가능량이라면 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼(영어: Kevin McCrimmon)이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.

요르단 대수의 이야기는 결합 법칙을 따르지 않는 곱 에 대한 이야기가 아니라, 가능한 한 결합 법칙을 최대한 따르는 이차 곱 에 대한 이야기이다.
The story of Jordan algebras is not the story of a nonassociative product , it is the story of a quadratic product which is about as associative as it can be.

 
[1]:8, §Ⅰ.0.2

참고 문헌[편집]

  1. McCrimmon, Kevin (2004). 《A taste of Jordan algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001. doi:10.1007/b97489. 
  2. Jacobson, Nathan (1968). 《Structure and representations of Jordan algebras》. American Mathematical Society Colloquium Publication 39 (영어). Providence, R.I.: American Mathematical Society. MR 0251099. Zbl 0218.17010. 
  3. Jacobson, Nathan (1969). 《Lectures on quadratic Jordan algebras》 (PDF) (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research. 
  4. Hanche-Olsen, H.; Størmer, E. (1984). 《Jordan Operator Algebras》 (영어). Monographs and Studies in Mathematics 21. Pitman. ISBN 0273086197. 
  5. Jordan, Pascual; von Neumann, John; Wigner, Eugene (1934). “On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 35 (1): 29–64. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968117. MR 1503141. Zbl 0008.42103. doi:10.2307/1968117. 
  6. Rios, Michael (2007년 3월). “Jordan algebras and extremal black holes” (영어). Bibcode:2007hep.th....3238R. arXiv:hep-th/0703238. 
  7. Jordan, Pascual (1933). “Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik”. 《Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I》 (독일어) 41: 209–217. JFM 59.0796.02. Zbl 0007.08502. 
  8. Jordan, Pascual (1933년 5월). “Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 80: 285–291. Bibcode:1933ZPhy...80..285J. doi:10.1007/BF01333854. 

외부 링크[편집]