환론 에서 클리퍼드 대수 (Clifford代數, 영어 : Clifford algebra )는 이차 형식 에 의하여 정의되는 결합 대수 의 한 종류이다.[1] [2] 복소수체 와 사원수환 의 일반화이며, 외대수 의 양자화 로 여길 수 있다.
클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.
추상적으로 어떤 보편 성질 을 통해 정의될 수 있다.
구체적으로 텐서 대수 의 몫대수로 정의될 수 있다. 보편 성질을 통한 정의 [ 편집 ] 가환환
K
{\displaystyle K}
가군
V
{\displaystyle V}
이차 형식
Q
:
V
→
K
{\displaystyle Q\colon V\to K}
클리퍼드 대수
Cliff
(
V
,
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)}
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수 다.
v
2
=
Q
(
v
)
∀
v
∈
V
{\displaystyle v^{2}=Q(v)\qquad \forall v\in V}
즉, 범주론 적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질 을 만족시킨다.
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수 들의 범주
uAssocAlg
K
{\displaystyle \operatorname {uAssocAlg} _{K}}
j
(
v
)
2
=
Q
(
v
)
1
A
∀
v
∈
V
{\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}\forall v\in V}
(
A
,
j
:
V
→
A
)
{\displaystyle (A,j\colon V\to A)}
준동형
f
:
Cliff
(
V
,
Q
)
→
A
{\displaystyle f\colon \operatorname {Cliff} (V,Q)\to A}
V
→
i
Cliff
(
V
,
Q
)
j
↘
↓
∃
!
f
A
{\displaystyle {\begin{matrix}V&{\overset {i}{\to }}&\operatorname {Cliff} (V,Q)\\&{\scriptstyle j}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !f\\&&A\end{matrix}}}
여기서
i
:
V
→
Cliff
(
V
,
Q
)
{\displaystyle i\colon V\to \operatorname {Cliff} (V,Q)}
이는 이차 공간(이차 형식 을 갖춘 가군 )의 범주
QMod
K
{\displaystyle \operatorname {QMod} _{K}}
단위 결합 대수 의 범주로 가는 함자 를 정의한다.
Cliff
:
QMod
K
→
uAssocAlg
K
{\displaystyle \operatorname {Cliff} \colon \operatorname {QMod} _{K}\to \operatorname {uAssocAlg} _{K}}
(
QMod
K
{\displaystyle \operatorname {QMod} _{K}}
가군 준동형
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi \colon M\to N}
Q
M
=
ϕ
∘
Q
N
{\displaystyle Q_{M}=\phi \circ Q_{N}}
텐서 대수를 통한 구성 [ 편집 ] 클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
=
T
(
V
;
K
)
/
i
(
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {T} (V;K)/{\mathfrak {i}}(Q)}
여기서
T
(
V
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {T} (V;K)}
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle K}
텐서 대수
T
(
V
;
K
)
=
⨁
n
=
0
∞
V
⊗
n
=
K
⊕
V
⊕
V
⊗
K
V
⊕
V
⊗
K
V
⊗
K
V
+
⋯
{\displaystyle \operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus V\otimes _{K}V\otimes _{K}V+\cdots }
이며,
i
(
Q
)
=
(
v
⊗
v
−
Q
(
v
)
)
v
∈
V
=
{
w
(
∑
i
=
1
n
v
i
⊗
v
i
−
Q
(
v
i
)
)
w
′
:
w
,
w
′
∈
T
K
(
V
)
,
n
∈
N
,
v
1
,
…
,
v
n
∈
V
}
{\displaystyle {\mathfrak {i}}(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\{w\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\otimes v_{i}-Q(v_{i})\right)w'\colon w,w'\in \operatorname {T} _{K}(V),\;n\in \mathbb {N} ,\;v_{1},\dots ,v_{n}\in V\right\}}
는
{
v
⊗
v
−
Q
(
v
)
:
v
∈
V
}
{\displaystyle \{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\}}
양쪽 아이디얼 이다.
이 경우
u
v
+
v
u
=
(
u
+
v
)
2
−
u
2
−
v
2
=
Q
(
u
+
v
)
−
Q
(
u
)
−
Q
(
v
)
{\displaystyle uv+vu=(u+v)^{2}-u^{2}-v^{2}=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}
이므로, 두 벡터 원소의 반교환자 는
Q
{\displaystyle Q}
쌍선형 형식 과 같다.
등급과 여과 [ 편집 ] 텐서 대수
T
(
V
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {T} (V;K)}
T
(
V
;
K
)
=
⨁
n
=
0
∞
T
n
(
V
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{n}(V;K)}
클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼 (로 정의되는 동치 관계 )은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
T
+
(
V
;
K
)
=
⨁
n
=
0
∞
T
2
n
(
V
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {T} ^{+}(V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{2n}(V;K)}
T
−
(
V
;
K
)
=
⨁
n
=
0
∞
T
2
n
+
1
(
V
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {T} ^{-}(V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{2n+1}(V;K)}
을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
K
{\displaystyle K}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
등급 대수 를 이룬다.
Cliff
+
(
V
;
K
)
=
T
+
(
V
;
K
)
i
(
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V;K)={\frac {\operatorname {T} ^{+}(V;K)}{{\mathfrak {i}}(Q)}}}
Cliff
−
(
V
;
K
)
=
T
−
(
V
;
K
)
i
(
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{-}(V;K)={\frac {\operatorname {T} ^{-}(V;K)}{{\mathfrak {i}}(Q)}}}
특히, 클리퍼드 대수
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}
V
=
Span
K
{
a
}
⊕
U
{\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{a\}\oplus U}
Q
(
t
a
+
u
)
=
t
2
Q
(
a
)
+
Q
|
U
(
u
)
∀
t
∈
K
,
u
∈
U
{\displaystyle Q(ta+u)=t^{2}Q(a)+Q|_{U}(u)\qquad \forall t\in K,\;u\in U}
Q
(
a
)
≠
0
{\displaystyle Q(a)\neq 0}
라면,
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
≅
Cliff
(
U
,
−
Q
(
a
)
Q
|
U
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\cong \operatorname {Cliff} (U,-Q(a)Q|_{U};K)}
이다.
비록 텐서 대수 의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의 자연수 오름 여과 를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수
T
(
V
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {T} (V;K)}
등급 으로 정의되는 오름 여과
F
n
T
(
V
;
K
)
=
⨁
m
≤
n
T
m
(
V
;
K
)
=
K
⊕
V
⊕
V
⊗
K
V
⊕
⋯
V
⊗
K
n
{\displaystyle F^{n}\operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V;K)=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus \cdots V^{\otimes _{K}n}}
를 생각하자. 그렇다면,
K
=
F
0
T
(
V
;
K
)
⊆
F
1
T
(
V
;
K
)
⊆
F
2
T
(
V
;
K
)
⊆
⋯
{\displaystyle K=F^{0}\operatorname {T} (V;K)\subseteq F^{1}\operatorname {T} (V;K)\subseteq F^{2}\operatorname {T} (V;K)\subseteq \cdots }
이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼
i
(
Q
)
{\displaystyle {\mathfrak {i}}(Q)}
(
F
n
T
(
V
;
K
)
∩
i
(
Q
)
)
/
F
n
+
1
T
(
V
;
K
)
{\displaystyle (F^{n}\operatorname {T} (V;K)\cap {\mathfrak {i}}(Q))/\operatorname {F} ^{n+1}\operatorname {T} (V;K)}
F
n
T
(
V
;
K
)
/
F
n
+
1
T
(
V
;
K
)
{\displaystyle F^{n}\operatorname {T} (V;K)/F^{n+1}\operatorname {T} (V;K)}
아이디얼 을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
F
n
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
=
⨁
m
≤
n
T
m
(
V
;
K
)
/
i
(
Q
)
{\displaystyle F^{n}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V;K)/{\mathfrak {i}}(Q)}
가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.
이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수 는 외대수 와 표준적으로 동형이다.
⨁
n
=
0
∞
F
n
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
F
n
−
1
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
≅
Λ
(
V
;
K
)
{\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\frac {F^{n}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)}{F^{n-1}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)}}\cong \Lambda (V;K)}
가환환
K
{\displaystyle K}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
자기 동형 이 존재한다.
α
:
v
1
v
2
⋯
v
k
↦
(
−
)
k
v
1
v
2
⋯
v
k
(
∀
v
1
,
v
2
,
…
,
v
k
∈
V
)
{\displaystyle \alpha \colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto (-)^{k}v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)}
(만약 가환환
K
{\displaystyle K}
표수 가 2라면 이는 항등 함수 이다.)
α
2
{\displaystyle \alpha ^{2}}
항등 함수 이므로 이는 대합 을 이룬다.
마찬가지로,
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
영어 : anti-automorphism )이 존재한다.
(
−
)
⊤
:
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
↦
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
op
{\displaystyle (-)^{\top }\colon \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\mapsto \operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\operatorname {op} }}
(
−
)
⊤
:
v
1
v
2
⋯
v
k
↦
v
k
⋯
v
2
v
1
(
∀
v
1
,
v
2
,
…
,
v
k
∈
V
)
{\displaystyle (-)^{\top }\colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto v_{k}\cdots v_{2}v_{1}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)}
(여기서
(
−
)
op
{\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}
반대환 을 뜻한다.)
α
{\displaystyle \alpha }
(
−
)
⊤
{\displaystyle (-)^{\top }}
합성 하면 다음과 같은 클리퍼드 수반 (영어 : Clifford conjugation )을 얻는다.
x
¯
=
α
(
x
⊤
)
=
(
α
(
x
)
)
⊤
{\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\top })=(\alpha (x))^{\top }}
x
↦
x
⊤
{\displaystyle x\mapsto x^{\top }}
x
↦
x
¯
{\displaystyle x\mapsto {\bar {x}}}
대합 을 이룬다.
이 연산들은
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
k
{\displaystyle k}
x
{\displaystyle x}
α
(
x
)
=
(
−
)
k
x
{\displaystyle \alpha (x)=(-)^{k}x}
x
⊤
=
(
−
)
k
(
k
−
1
)
/
2
x
{\displaystyle x^{\top }=(-)^{k(k-1)/2}x}
x
¯
=
(
−
)
k
(
k
+
1
)
/
2
x
{\displaystyle {\bar {x}}=(-)^{k(k+1)/2}x}
즉, 이는
k
mod
4
{\displaystyle k{\bmod {4}}}
연산
k
≡
0
(
mod
4
)
{\displaystyle k\equiv 0{\pmod {4}}}
k
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle k\equiv 1{\pmod {4}}}
k
≡
2
(
mod
4
)
{\displaystyle k\equiv 2{\pmod {4}}}
k
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle k\equiv 3{\pmod {4}}}
α
(
x
)
{\displaystyle \alpha (x)}
+
x
{\displaystyle +x}
−
x
{\displaystyle -x}
+
x
{\displaystyle +x}
−
x
{\displaystyle -x}
x
⊤
{\displaystyle x^{\top }}
+
x
{\displaystyle +x}
+
x
{\displaystyle +x}
−
x
{\displaystyle -x}
−
x
{\displaystyle -x}
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
+
x
{\displaystyle +x}
−
x
{\displaystyle -x}
−
x
{\displaystyle -x}
+
x
{\displaystyle +x}
노름과 내적 [ 편집 ] 가환환
K
{\displaystyle K}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
쌍선형 형식 및 이차 형식 을 정의할 수 있다.
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
x
⊤
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle x^{\top }y\rangle }
Q
~
(
x
)
=
⟨
x
⊤
x
⟩
{\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\langle x^{\top }x\rangle }
여기서
⟨
−
⟩
{\displaystyle \langle -\rangle }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
이는 다음 성질을 만족시킨다.
⟨
x
,
a
y
⟩
=
⟨
a
⊤
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,ay\rangle =\langle a^{\top }x,y\rangle }
만약
Q
{\displaystyle Q}
V
=
U
⊕
W
{\displaystyle V=U\oplus W}
Q
(
u
+
w
)
=
Q
(
u
)
∀
u
∈
U
,
w
∈
W
{\displaystyle Q(u+w)=Q(u)\qquad \forall u\in U,w\in W}
라면 (즉,
Q
|
W
=
0
{\displaystyle Q|_{W}=0}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
≅
Λ
(
W
;
K
)
⊗
^
K
Cliff
(
U
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\cong \Lambda (W;K){\hat {\otimes }}_{K}\operatorname {Cliff} (U,Q;K)}
가 된다. 따라서, 만약
V
{\displaystyle V}
반단순 가군 이라면
V
≅
(
rad
Q
)
⊕
V
/
(
rad
Q
)
{\displaystyle V\cong (\operatorname {rad} Q)\oplus V/(\operatorname {rad} Q)}
V
{\displaystyle V}
반단순 가군 일 때 클리퍼드 대수의 분해는
Q
{\displaystyle Q}
비특이 이차 형식 인 경우로 귀결된다. 특히,
K
{\displaystyle K}
체 (또는 유한 개의 체 들의 직접곱 )라면, 모든 가군은 반단순 가군 이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.
K
{\displaystyle K}
체 이며,
V
{\displaystyle V}
벡터 공간 이고, 그 차원이
n
{\displaystyle n}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
벡터 공간 이다.
{
e
i
}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}
V
{\displaystyle V}
기저 라고 하자. 그렇다면
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
기저 는 다음과 같이 주어진다.
{
e
i
1
e
i
2
⋯
e
i
k
|
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
}
{\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\dotsb e_{i_{k}}|1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n\}}
외대수와의 관계 [ 편집 ] 체
K
{\displaystyle K}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
K
{\displaystyle K}
외대수
Λ
K
(
V
)
{\displaystyle \Lambda _{K}(V)}
Q
=
0
{\displaystyle Q=0}
Cliff
(
V
,
0
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,0;K)}
외대수
Λ
(
V
;
K
)
{\displaystyle \Lambda (V;K)}
Q
≠
0
{\displaystyle Q\neq 0}
외대수 의 일종의 양자화 로 생각할 수 있다.
환론적 성질 [ 편집 ] 가환환
K
{\displaystyle K}
유한 생성 사영 가군
M
{\displaystyle M}
비퇴화 이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
Cliff
(
M
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)}
등급 아즈마야 대수 (영어 : graded Azumaya algebra )이다.[3] :152, Corollary 3.7.4 소 아이디얼
p
∈
Spec
K
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K}
M
⊗
K
K
p
{\displaystyle M\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}}
K
p
{\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}
자유 가군 이라면,
Cliff
(
M
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)}
소 아이디얼
p
∈
Spec
K
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K}
M
⊗
K
K
p
{\displaystyle M\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}}
K
p
{\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}
자유 가군 이라면,
Cliff
(
M
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)}
K
p
{\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}
국소화 이다.)
특히, 만약
K
{\displaystyle K}
체 라면,
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
등급 중심 단순 대수 (영어 : graded central simple algebra )이다.[4] :109, Theorem 2.1
만약
V
{\displaystyle V}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
Z
(
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
)
=
K
{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))=K}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
중심 단순 대수 를 이룬다.
만약
V
{\displaystyle V}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
중심 단순 대수 가 아니지만,
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}
중심 단순 대수 를 이룬다. 반단순성 [ 편집 ] 표수가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
=
Span
K
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}}
이차 형식 은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
Q
(
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
+
a
n
e
n
)
=
c
1
a
1
2
+
c
2
a
2
2
+
⋯
+
c
n
a
n
2
(
a
1
,
…
,
a
n
,
c
1
,
…
,
c
n
∈
K
)
{\displaystyle Q(a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n})=c_{1}a_{1}^{2}+c_{2}a_{2}^{2}+\cdots +c_{n}a_{n}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n},c_{1},\dots ,c_{n}\in K)}
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 이므로) 항상 아르틴 환 이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[5] :210, Supplementary Exercise 35(a)
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
반단순환 이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리 에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱 이다.모든
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
c
i
≠
0
{\displaystyle c_{i}\neq 0}
또한,
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
단순환 의 직접곱 이다.[5] :211, Supplementary Exercise 35(b)
표수 가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
=
Span
K
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}}
이차 형식 은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
Q
(
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
+
a
n
e
n
)
=
c
1
a
1
2
+
c
2
a
2
2
+
⋯
+
c
n
a
n
2
(
a
1
,
…
,
a
n
,
c
1
,
…
,
c
n
∈
K
)
{\displaystyle Q(a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n})=c_{1}a_{1}^{2}+c_{2}a_{2}^{2}+\cdots +c_{n}a_{n}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n},c_{1},\dots ,c_{n}\in K)}
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
중심 은 다음과 같다.
Z
(
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
)
=
{
K
2
∣
n
K
+
K
e
1
e
2
⋯
e
n
2
∤
n
{\displaystyle \operatorname {Z} \left(\operatorname {Cliff} (V,Q;K)\right)={\begin{cases}K&2\mid n\\K+Ke_{1}e_{2}\cdots e_{n}&2\nmid n\end{cases}}}
스칼라 확대 [ 편집 ] 가환환
K
{\displaystyle K}
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
환 준동형
ϕ
:
K
→
K
~
{\displaystyle \phi \colon K\to {\tilde {K}}}
K
{\displaystyle K}
가군
M
{\displaystyle M}
이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
(
M
,
Q
)
{\displaystyle (M,Q)}
(
M
⊗
K
K
~
,
Q
⊗
K
1
)
{\displaystyle (M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
등급
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
[6] :195, Proposition IV.1.2.3
Cliff
(
M
⊗
K
K
~
,
Q
⊗
K
1
)
≅
Cliff
(
M
,
Q
)
⊗
K
K
~
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)\cong \operatorname {Cliff} (M,Q)\otimes _{K}{\tilde {K}}}
클리퍼드 군 [ 편집 ] 클리퍼드 대수의 특정 가역원 들은 클리퍼드 군 핀 군 과 스핀 군 은 클리퍼드 군 의 부분군을 이룬다.
직합에 대한 분해 [ 편집 ] 가환환
K
{\displaystyle K}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
등급
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수
A
{\displaystyle A}
A
′
{\displaystyle A'}
B
=
A
⊗
A
′
{\displaystyle B=A\otimes _{A}'}
위에 다음과 같은
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
등급
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수 의 구조를 부여할 수 있다.
B
0
=
A
0
⊗
K
A
0
′
⊕
A
1
⊗
K
A
1
′
{\displaystyle B_{0}=A_{0}\otimes _{K}A'_{0}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{1}}
B
1
=
A
0
⊗
K
A
1
′
⊕
A
1
⊗
K
A
0
′
{\displaystyle B_{1}=A_{0}\otimes _{K}A'_{1}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{0}}
(
a
⊗
K
a
′
)
(
b
⊗
K
b
′
)
=
(
−
)
deg
a
′
deg
b
′
(
a
b
)
⊗
K
(
a
′
b
′
)
(
a
,
b
∈
A
,
a
′
,
b
′
∈
A
′
)
{\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes _{K}(a'b')\qquad (a,b\in A,\;a',b'\in A')}
여기서
A
0
{\displaystyle A_{0}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
부분 집합 이다. 이
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
등급
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수 를
A
⊗
^
K
A
′
{\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'}
가환환
K
{\displaystyle K}
이차 공간
(
V
,
Q
)
{\displaystyle (V,Q)}
(
V
′
,
Q
′
)
{\displaystyle (V',Q')}
직합
(
V
⊕
V
′
,
Q
⊕
Q
′
)
{\displaystyle (V\oplus V',Q\oplus Q')}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
등급
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수 로서 다음과 동형이다.[6] :195, Theorem IV.1.3.1
Cliff
(
V
⊕
V
′
,
Q
⊕
Q
′
;
K
)
≅
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
⊗
^
K
Cliff
(
V
′
,
Q
′
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong \operatorname {Cliff} (V,Q;K){\hat {\otimes }}_{K}\operatorname {Cliff} (V',Q';K)}
따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.
체 위의 클리퍼드 대수의 분류 [ 편집 ] 표수가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
비퇴화 이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
등급 중심 단순 대수 (영어 : graded central simple algebra )이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.[4] :111, §V.2
n
{\displaystyle n}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
K
{\displaystyle K}
중심 단순 대수 이다.
Z
(
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
)
≅
K
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K))\cong K({\sqrt {a}})}
a
∈
K
×
/
(
K
×
)
2
)
{\displaystyle a\in K^{\times }/(K^{\times })^{2})}
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}
K
(
a
)
{\displaystyle K({\sqrt {a}})}
중심 단순 대수 이다.
Z
(
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
)
≅
K
×
K
{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K))\cong K\times K}
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
≅
A
2
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\cong A^{2}}
K
{\displaystyle K}
중심 단순 대수
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}
K
{\displaystyle K}
중심 단순 대수 이다.
Z
(
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
)
≅
K
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))\cong K({\sqrt {a}})}
a
∈
K
×
/
(
K
×
)
2
)
{\displaystyle a\in K^{\times }/(K^{\times })^{2})}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
확대체
K
(
a
)
{\displaystyle K({\sqrt {a}})}
중심 단순 대수 이다.
Z
(
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
)
≅
K
×
K
{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))\cong K\times K}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
≅
A
2
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\cong A^{2}}
K
{\displaystyle K}
중심 단순 대수
A
{\displaystyle A}
아르틴-웨더번 정리 에 의하여, 체
K
{\displaystyle K}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
중심 단순 대수 는 어떤
K
{\displaystyle K}
중심 단순 대수 인
2
k
{\displaystyle 2^{k}}
나눗셈환
D
{\displaystyle D}
Mat
(
2
n
−
k
;
D
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n-k};D)}
복소수 클리퍼드 대수 [ 편집 ]
K
=
C
{\displaystyle K=\mathbb {C} }
복소수체 이며,
(
V
,
Q
)
{\displaystyle (V,Q)}
비퇴화 이차 형식 이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간 이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직
n
=
dim
C
V
{\displaystyle n=\dim _{\mathbb {C} }V}
Cliff
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
단위 결합 대수 로서 다음과 같다.
Cliff
(
n
;
C
)
≅
{
Mat
(
2
n
/
2
;
C
)
2
∣
n
Mat
(
2
(
n
−
1
)
/
2
;
C
)
⊕
Mat
(
2
(
n
−
1
)
/
2
;
C
)
2
∤
n
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {C} )&2\mid n\\\operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )&2\nmid n\end{cases}}}
즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성 이 존재한다.
Cliff
(
n
+
2
;
C
)
≅
Mat
(
2
;
C
)
⊗
C
Cliff
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (n+2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )}
특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.
Cliff
(
0
;
C
)
≅
C
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (0;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} }
Cliff
(
1
;
C
)
≅
C
⊕
C
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (1;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} }
테사린 , tessarine)
Cliff
(
2
;
C
)
≅
Mat
(
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}
행렬 )실수 클리퍼드 대수 [ 편집 ]
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
실수체 이며,
V
{\displaystyle V}
벡터 공간 이고,
Q
{\displaystyle Q}
부호수 가
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
비퇴화 이차 형식 이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를
Cliff
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}
Cliff
(
0
,
0
;
R
)
≅
R
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }
실수 )
Cliff
(
0
,
1
;
R
)
≅
C
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {C} }
복소수 )
Cliff
(
1
,
0
;
R
)
≅
R
⊕
R
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (1,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }
분할복소수 )
Cliff
(
0
,
2
;
R
)
≅
H
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} }
사원수 )
Cliff
(
2
,
0
;
R
)
≅
Cliff
(
1
,
1
;
R
)
≅
Mat
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (2,0;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cliff} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}
행렬 )또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성 이 성립한다.
Cliff
(
p
+
2
,
q
;
R
)
≅
Mat
(
2
;
R
)
⊗
R
Cliff
(
q
,
p
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (p+2,q;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (q,p;\mathbb {R} )}
Cliff
(
p
+
1
,
q
+
1
;
R
)
≅
Mat
(
2
;
R
)
⊗
R
Cliff
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (p+1,q+1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}
Cliff
(
p
,
q
+
2
;
R
)
≅
H
⊗
R
Cliff
(
q
,
p
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q+2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (q,p;\mathbb {R} )}
이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.
즉, 실수 클리퍼드 대수
Cliff
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}
클리퍼드 시계 (Clifford時計, 영어 : Clifford clock )로 나타낼 수 있다.
8
1
2
R
R
⊕
2
R
7
C
C
3
H
H
⊕
2
H
6
5
4
{\displaystyle {\begin{matrix}_{\displaystyle {\mathsf {8}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {1}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {2}}}\\&_{\displaystyle \mathbb {R} }&^{\displaystyle \mathbb {R} ^{\oplus 2}}&_{\displaystyle \mathbb {R} }\\{\mathsf {7}}\quad &\mathbb {C} \quad &&\quad \mathbb {C} &\quad {\mathsf {3}}\\&^{\displaystyle \mathbb {H} }&_{\displaystyle \mathbb {H} ^{\oplus 2}}&^{\displaystyle \mathbb {H} }\\^{\displaystyle {\mathsf {6}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {5}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {4}}}\end{matrix}}}
즉,
Cliff
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}
p
−
q
mod
8
{\displaystyle p-q{\bmod {8}}}
dim
R
Cliff
(
p
,
q
;
R
)
=
2
p
+
q
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )=2^{p+q}}
n
≡
3
(
mod
8
)
{\displaystyle n\equiv 3{\pmod {8}}}
Cliff
(
0
,
n
;
R
)
≅
Mat
(
H
;
2
n
/
(
2
dim
R
H
)
)
⊕
Mat
(
H
;
2
n
/
(
2
dim
R
H
)
)
=
Mat
(
H
;
2
n
−
3
)
⊕
Mat
(
H
;
2
n
−
3
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))=\operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})}
이다.
홀수 표수의 유한체 [ 편집 ] 홀수 표수 의 유한체
K
=
F
q
{\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}}
n
{\displaystyle n}
비퇴화 이차 형식
Q
=
diag
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle Q=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
이 주어졌다고 하자. 이 경우
δ
=
[
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
1
a
2
⋯
a
n
]
∈
F
q
×
/
(
F
q
×
)
2
≅
Z
/
2
{\displaystyle \delta =[(-1)^{n(n-1)/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}]\in \mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}\cong \mathbb {Z} /2}
을 정의하자.
이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
δ
{\displaystyle \delta }
n
{\displaystyle n}
Cliff
(
F
q
n
,
Q
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{q}^{n},Q;\mathbb {F} _{q})}
Cliff
+
(
F
q
n
,
Q
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(\mathbb {F} _{q}^{n},Q;\mathbb {F} _{q})}
O
(
V
,
Q
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;\mathbb {F} _{q})}
제곱수 (
Q
{\displaystyle Q}
짝수
Mat
(
2
n
/
2
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {F} _{q})}
Mat
(
2
n
/
2
−
1
;
F
q
)
2
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2-1};\mathbb {F} _{q})^{2}}
O
+
(
n
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(n;\mathbb {F} _{q})}
제곱수
홀수
Mat
(
2
(
n
−
1
)
/
2
;
F
q
)
2
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q})^{2}}
Mat
(
2
(
n
−
1
)
/
2
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q})}
O
(
n
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {F} _{q})}
제곱수가 아님 (
Q
{\displaystyle Q}
짝수
Mat
(
2
n
/
2
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {F} _{q})}
Mat
(
2
n
/
2
−
1
;
F
q
2
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2-1};\mathbb {F} _{q^{2}})}
O
−
(
n
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {O} ^{-}(n;\mathbb {F} _{q})}
제곱수가 아님
홀수
Mat
(
2
(
n
−
1
)
/
2
;
F
q
2
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q^{2}})}
Mat
(
2
(
n
−
1
)
/
2
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q})}
O
(
n
;
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {F} _{q})}
홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.
표수 2의 유한체 [ 편집 ] 표수 2에서는 등급 텐서곱
⊗
^
{\displaystyle {\hat {\otimes }}}
⊗
{\displaystyle \otimes }
K
=
F
2
e
{\displaystyle K=\mathbb {F} _{2^{e}}}
2
n
{\displaystyle 2n}
Q
1
=
(
K
2
,
(
k
1
,
k
2
)
↦
k
1
k
2
)
{\displaystyle Q_{1}=\left(K^{2},(k_{1},k_{2})\mapsto k_{1}k_{2}\right)}
Q
2
(
K
2
,
(
k
1
,
k
2
)
↦
(
k
1
2
+
k
1
k
2
+
a
k
2
2
)
)
,
a
∈
K
∖
{
b
2
+
b
:
b
∈
K
}
{\displaystyle Q_{2}\left(K^{2},(k_{1},k_{2})\mapsto (k_{1}^{2}+k_{1}k_{2}+ak_{2}^{2})\right),\qquad a\in K\setminus \{b^{2}+b\colon b\in K\}}
이 경우
Cliff
(
F
2
e
2
,
Q
1
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{e}}^{2},Q_{1})}
Cliff
(
F
2
n
2
,
Q
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{n}}^{2},Q_{2})}
K
{\displaystyle K}
중심 단순 대수 를 이룬다. 따라서,
2
n
{\displaystyle 2n}
비퇴화 이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
Cliff
(
F
2
e
2
n
,
Q
;
F
2
e
)
≅
Mat
(
2
n
;
F
2
e
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{e}}^{2n},Q;\mathbb {F} _{2^{e}})\cong \operatorname {Mat} (2^{n};\mathbb {F} _{2^{e}})}
F
2
e
{\displaystyle \mathbb {F} _{2^{e}}}
이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
Q
nondeg
{\displaystyle Q_{\text{nondeg}}}
Q
=
Q
nondeg
⊕
{
diag
(
0
,
0
,
…
,
0
,
1
)
diag
(
0
,
0
,
…
,
0
,
0
)
{\displaystyle Q=Q_{\text{nondeg}}\oplus {\begin{cases}\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,1)\\\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,0)\end{cases}}}
Cliff
(
diag
(
0
,
0
,
…
,
0
,
0
)
;
F
2
e
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,0);\mathbb {F} _{2^{e}})}
Cliff
(
diag
(
0
,
0
,
…
,
0
,
1
)
;
F
2
e
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,1);\mathbb {F} _{2^{e}}}
외대수 와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수
Cliff
(
diag
(
1
)
;
K
)
=
K
[
x
]
/
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} \left(\operatorname {diag} (1);K\right)=K[x]/(x^{2}+1)}
에서
y
=
x
+
1
{\displaystyle y=x+1}
y
2
=
0
{\displaystyle y^{2}=0}
단위 결합 대수 로서 외대수
Λ
(
K
)
=
K
[
y
]
/
(
y
2
)
{\displaystyle \Lambda (K)=K[y]/(y^{2})}
가환환
K
{\displaystyle K}
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}
만약
Q
=
0
{\displaystyle Q=0}
Cliff
(
V
,
0
;
K
)
=
Λ
(
V
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,0;K)=\Lambda (V;K)}
외대수 이다.
만약
V
=
0
{\displaystyle V=0}
Q
=
0
{\displaystyle Q=0}
이차 형식 이라면,
Cliff
(
0
,
0
;
K
)
≅
K
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,0;K)\cong K}
1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 [ 편집 ] 만약
V
=
K
{\displaystyle V=K}
자유 가군 이며,
Q
:
k
↦
a
k
2
{\displaystyle Q\colon k\mapsto ak^{2}}
Cliff
(
K
,
Q
;
K
)
≅
K
[
x
]
/
(
x
2
−
a
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (K,Q;K)\cong K[x]/(x^{2}-a)}
a
=
Q
(
1
)
{\displaystyle a=Q(1)}
[
a
]
∈
K
/
K
2
{\displaystyle [a]\in K/K^{2}}
만약 추가로
K
{\displaystyle K}
대수적으로 닫힌 체 라면,
K
[
x
]
/
(
x
2
−
a
)
≅
{
K
⊕
K
a
≠
0
Λ
(
K
)
a
=
0
{\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong {\begin{cases}K\oplus K&a\neq 0\\\Lambda (K)&a=0\end{cases}}}
이다. 구체적으로,
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
y
±
=
1
2
(
1
±
x
/
a
)
{\displaystyle y_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm x/{\sqrt {a}})}
를 정의한다면,
y
±
2
=
y
±
{\displaystyle y_{\pm }^{2}=y_{\pm }}
이므로
K
[
x
]
/
(
x
2
−
a
)
≅
K
y
+
⊕
K
y
−
{\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong Ky_{+}\oplus Ky_{-}}
2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 [ 편집 ] 체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수 (영어 : quaternion algebra , 프랑스어 : algèbre de quaternions )라고 한다.
체 위의 사원수형 대수는 환 으로서 항상 나눗셈환 을 이루거나 또는 2×2
K
{\displaystyle K}
행렬환
Mat
(
2
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)}
분할 사원수형 대수 (영어 : split quaternion algebra , 프랑스어 : algèbre de quaternions déployée )라고 한다.
K
{\displaystyle K}
표수 가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.
(
a
,
b
K
)
=
Cliff
(
Span
K
{
i
,
j
}
,
diag
(
a
,
b
)
;
K
)
=
K
⟨
i
,
j
⟩
(
i
2
−
a
,
j
2
−
b
,
i
j
+
j
i
)
(
deg
i
=
deg
j
=
1
)
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{K}}\right)=\operatorname {Cliff} \left(\operatorname {Span} _{K}\{i,j\},\operatorname {diag} (a,b);K\right)={\frac {K\langle i,j\rangle }{(i^{2}-a,j^{2}-b,ij+ji)}}\qquad (\deg i=\deg j=1)}
보통 (사원수 와 마찬가지로)
i
j
=
−
j
i
=
k
{\displaystyle ij=-ji=k}
K
{\displaystyle K}
표수 가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
(
a
,
b
K
)
{\displaystyle ({\tfrac {a,b}{K}})}
힐베르트 기호
(
a
,
b
)
K
=
1
{\displaystyle (a,b)_{K}=1}
z
2
=
a
x
2
+
b
y
2
{\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}}
K
{\displaystyle K}
사원수 의 환
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
(
−
1
,
−
1
K
)
{\displaystyle ({\tfrac {-1,-1}{K}})}
클리퍼드 해석학 [ 편집 ] 복소해석학 의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.[7] [8] [9]
디랙 연산자 [ 편집 ] 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
열린집합
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
f
:
U
→
Cliff
(
0
,
n
;
R
)
{\displaystyle f\colon U\to \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자
D
=
∑
i
=
1
n
e
i
∂
∂
x
i
{\displaystyle D=\sum _{i=1}^{n}e_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}
를 생각할 수 있다 (
e
i
{\displaystyle e_{i}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
정규 직교 기저 ). 만약
f
{\displaystyle f}
0
=
D
→
f
=
∑
i
=
1
n
∂
∂
x
i
(
e
i
f
(
x
)
)
{\displaystyle 0={\overset {\rightarrow }{D}}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(e_{i}f(x))}
를 만족시킨다면,
f
{\displaystyle f}
왼쪽 정칙 함수 (영어 : left holomorphic/monogenic/regular function )라고 하며, 만약
f
{\displaystyle f}
0
=
f
D
←
=
∑
i
=
1
n
∂
∂
x
i
(
f
(
x
)
e
i
)
{\displaystyle 0=f{\overset {\leftarrow }{D}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f(x)e_{i})}
를 만족시킨다면,
f
{\displaystyle f}
오른쪽 정칙 함수 (영어 : right holomorphic/monogenic/regular function )라고 한다.
디랙 연산자 의 제곱은
D
2
=
∑
i
,
j
=
1
n
e
i
e
j
∂
2
∂
x
i
∂
x
j
=
−
∑
i
=
1
n
∂
2
∂
x
i
2
=
−
∇
2
{\displaystyle D^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}e_{i}e_{j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}=-\nabla ^{2}}
이므로,
i
D
{\displaystyle iD}
라플라스 연산자
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
코시 적분 공식 [ 편집 ] 클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리 가 성립한다. 즉,
두 열린집합
V
⊆
cl
(
V
)
⊆
U
⊆
R
n
{\displaystyle V\subseteq \operatorname {cl} (V)\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
cl
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {cl} (V)}
위상수학적 폐포 )
V
{\displaystyle V}
유계 집합 이자 단일 연결 공간 이며,경계
∂
V
{\displaystyle \partial V}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
미분 가능 다양체 를 이루며,
f
,
g
:
U
→
Cliff
(
0
,
n
;
R
)
{\displaystyle f,g\colon U\to \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
그렇다면, 다음이 성립한다.
0
=
∮
∂
V
g
(
x
)
n
^
∂
V
(
x
)
f
(
x
)
d
x
n
−
1
{\displaystyle 0=\oint _{\partial V}g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm {d} \!x^{n-1}}
여기서
n
^
∂
V
:
∂
V
→
R
n
⊂
Cliff
(
0
,
n
;
R
)
{\displaystyle {\hat {n}}_{\partial V}\colon \partial V\to \mathbb {R} ^{n}\subset \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}
∂
V
{\displaystyle \partial V}
단위 벡터 이며,
d
x
n
−
1
{\displaystyle \mathrm {d} \!x^{n-1}}
∂
V
{\displaystyle \partial V}
르베그 측도 이다.또한, 다음이 성립한다.
f
(
x
0
)
=
1
vol
(
S
n
−
1
)
∮
∂
V
(
x
−
x
0
)
n
^
∂
V
(
x
)
f
(
x
)
‖
x
−
x
0
‖
n
d
x
n
−
1
{\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {(x-x_{0}){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}}
g
(
x
0
)
=
1
vol
(
S
n
−
1
)
∮
∂
V
g
(
x
)
n
^
∂
V
(
x
)
(
x
−
x
0
)
‖
x
−
x
0
‖
n
d
x
n
−
1
{\displaystyle g(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)(x-x_{0})}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}}
여기서
vol
(
S
n
−
1
)
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}}
는
n
−
1
{\displaystyle n-1}
초구 의 넓이이다.
등각 변환 [ 편집 ] 리만 구
C
^
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}
등각 변환 은 복소수 계수의 뫼비우스 변환
z
↦
a
z
+
b
c
z
+
d
(
a
,
b
,
c
,
d
∈
C
,
a
d
−
b
c
≠
0
)
{\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\qquad (a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\;ad-bc\neq 0)}
로 나타낼 수 있다. 마찬가지로,
S
n
=
R
n
^
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}={\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}}
등각 변환 은 클리퍼드 대수
Cliff
(
0
,
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}
뫼비우스 변환
x
↦
a
x
+
b
c
x
+
d
(
a
,
b
,
c
,
d
∈
Cliff
(
0
,
n
;
R
)
)
{\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}\qquad \left(a,b,c,d\in \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )\right)}
으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
를 등각 변환 의 알포르스-팔렌 행렬 (영어 : Ahlfors–Vahlen matrix )이라고 한다. 2×2 행렬
M
=
(
a
b
c
d
)
∈
Mat
(
2
;
Cliff
(
0
,
n
;
R
)
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;\operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} ))}
동치 이다.[10] :§7.5, 104
M
{\displaystyle M}
R
n
^
{\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}}
등각 변환 을 정의한다.
a
c
⊤
,
b
d
⊤
∈
R
n
{\displaystyle ac^{\top },bd^{\top }\in \mathbb {R} ^{n}}
a
d
⊤
−
b
c
⊤
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle ad^{\top }-bc^{\top }\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.[10] :§7.4, 103
(
a
b
c
d
)
−
1
=
(
d
⊤
−
b
⊤
−
c
⊤
a
⊤
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}d^{\top }&-b^{\top }\\-c^{\top }&a^{\top }\end{pmatrix}}}
K이론 [ 편집 ] 위상 K이론 은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성 은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성 과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성 은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성 과 관련된다.[11]
물리학 [ 편집 ] 양자장론 에서, 4차원 디랙 스피너 를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }}
μ
=
0
,
1
,
2
,
3
{\displaystyle \mu =0,1,2,3}
Cliff
(
4
;
C
)
≅
Mat
(
4
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )}
스피너 를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
{\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}}
{
σ
i
,
σ
j
}
=
2
δ
i
j
σ
i
{\displaystyle \{\sigma ^{i},\sigma ^{j}\}=2\delta ^{ij}\sigma ^{i}}
Cliff
(
3
,
0
;
R
)
≅
Mat
(
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (3,0;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}
스피너 의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군 을 이룬다.
영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드 가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회(영어 : London Mathematical Society )에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉(영어 : On the classification of geometric algebras )라는 제목의 강의를 하였으며,[12] [13]
루돌프 립시츠 는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.[14] [15] [1] :220, §17.2
알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아 의 카를 테오도어 팔렌(독일어 : Karl Theodor Vahlen )[16] 핀란드 의 라르스 알포르스 [10] [17] [18]
1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로(영어 : Arnold Samuel Shapiro )는 클리퍼드 대수가 위상 K이론 과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.[11]
참고 문헌 [ 편집 ]
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![{\displaystyle \delta =[(-1)^{n(n-1)/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}]\in \mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}\cong \mathbb {Z} /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5d205d4e831182b8dfae565f6dd04fac5483fb)
![{\displaystyle \operatorname {Cliff} \left(\operatorname {diag} (1);K\right)=K[x]/(x^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468a4768aa72d9c0af90a0b161d23b077389d756)
![{\displaystyle \Lambda (K)=K[y]/(y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a978f6879016f19efdb4fb96cc8881f3bc75faa6)
![{\displaystyle \operatorname {Cliff} (K,Q;K)\cong K[x]/(x^{2}-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6d1c3504ead1bb072f3636fc99fa04742acfcf)
![{\displaystyle [a]\in K/K^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328782da337d9af2baeee742dcd629957328f778)
![{\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong {\begin{cases}K\oplus K&a\neq 0\\\Lambda (K)&a=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b051f8fe1ab6d14a7eeb2cf37997201d5ec808)
![{\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong Ky_{+}\oplus Ky_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538e722cddeba1cad3dca4435dbae47ffc298a1e)
