클리퍼드 대수

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추상대수학에서, 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 단위 결합 대수의 한 종류이다.[1][2] 복소수체사원수환의 일반화이며, 외대수양자화로 여길 수 있다.

정의[편집]

보편 성질[편집]

가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q\colon V\to K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q)는 다음 공리를 만족시키는, V를 포함하는 가장 일반적인 K-단위 결합 대수다.

v^2=Q(v)\qquad\forall v\in V

즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. K 위의 단위 결합 대수들의 범주 \operatorname{uAssocAlg}_K에서, j(v)^2=Q(v)1_A\forall v\in V를 만족시키는 임의의 대수 (A,j\colon V\to A)가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 f\colon\operatorname{Cliff}(V,Q)\to A가 존재한다.

\begin{matrix}
V&\overset i\to&\operatorname{Cliff}(V,Q)\\
&{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!f\\
&&A
\end{matrix}

여기서 i\colon V\to\operatorname{Cliff}(V,Q)는 보통 생략한다.

이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 \operatorname{QMod}_K에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.

\operatorname{Cliff}\colon\operatorname{QMod}_K\to\operatorname{uAssocAlg}_K

(\operatorname{QMod}_K의 사상은 가군 준동형 \phi\colon M\to N 가운데 Q_M=\phi\circ Q_N인 것이다.)

구성[편집]

클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.

\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname T(V;K)/\mathfrak i(Q)

여기서 \operatorname T(V;K)V에 대한 K-텐서 대수

\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus V\otimes_KV\otimes_KV+\cdots

이며,

\mathfrak i(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\{w\left(\sum_{i=1}^nv_i\otimes v_i-Q(v_i)\right)w'\colon w,w'\in\operatorname T_K(V),\;n\in\mathbb N,\;v_1,\dots,v_n\in V\right\}

\{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\}에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.

이 경우

uv+vu=(u+v)^2-u^2-v^2=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)

이므로, 두 벡터 원소의 반교환자Q의 연관 쌍선형 형식과 같다.

성질[편집]

가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)K-가군으로서 외대수 \Lambda_K(V)와 동형이다. 만약 Q=0일 경우 \operatorname{Cliff}(V,0;K)외대수 \Lambda(V;K)와 대수로서 동형이지만, Q\ne0일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.

만약 Q

V=U\oplus W
Q(u+w)=Q(u)\qquad\forall u\in U,w\in W

라면 (즉, Q|_W=0라면),

\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong\Lambda(W;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(U,Q;K)

가 된다. 따라서, 만약 V반단순 가군이라면 V\cong(\operatorname{rad}Q)\oplus V/(\operatorname{rad}Q)이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, V반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 Q비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, K(또는 유한 개의 들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.

K이며, V가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 n이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)2^n차원 벡터 공간이다. \{e_i\}_{i=1,\dots,n}V기저라고 하자. 그렇다면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)기저는 다음과 같이 주어진다.

\{e_{i_1}e_{i_2}\dotsb e_{i_k}|1\le i_1<i_2<\dotsb<i_k\le n\}

환론적 성질[편집]

가환환 K 위의 유한 생성 사영 가군 M 위의 비퇴화 이차 형식 Q의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(M,Q;K)등급 아즈마야 대수(영어: graded Azumaya algebra)이다.[3]:152, Corollary 3.7.4 또한, 만약 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}K에 대하여 M\otimes_KK_{\mathfrak p}가 짝수 계수 K_{\mathfrak p}-자유 가군이라면, \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}K에 대하여 M\otimes_KK_{\mathfrak p}가 홀수 계수 K_{\mathfrak p}-자유 가군이라면, \operatorname{Cliff}(M,Q;K)는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 K_{\mathfrak p}국소화이다.)

특히, 만약 K가 표수가 2가 아닌 라면, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)등급 중심 단순 대수(영어: graded central simple algebra)이다.[4]:109, Theorem 2.1

  • 만약 V가 짝수 차원이라면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, \operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))=K이며, \mathbb Z/2-등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다.
  • 만약 V가 짝수 차원이라면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, \mathbb Z/2-등급 구조를 잊으면 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)중심 단순 대수가 아니지만, \operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)중심 단순 대수를 이룬다.

반단순성[편집]

표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V=\operatorname{Span}_K\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K)

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 (유한 차원 K-벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[5]:210, Supplementary Exercise 35(a)

또한, \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 2개 이하의 단순환직접곱이다.[5]:211, Supplementary Exercise 35(b)

중심[편집]

표수가 2가 아닌 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V=\operatorname{Span}_K\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K)

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)중심은 다음과 같다.

\operatorname Z\left(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\right)=\begin{cases}
K&2\mid n\\
K+Ke_1e_2\cdots e_n&2\nmid n
\end{cases}

대합[편집]

가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

\alpha\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto(-)^kv_1v_2\cdots v_k\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V)

(만약 가환환 K표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) \alpha^2항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.

마찬가지로, \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에 다음과 같은 반자기 동형(영어: anti-automorphism)이 존재한다.

(-)^\top\colon\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\mapsto \operatorname{Cliff}(V,Q;K)^{\operatorname{op}}
(-)^\top\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto v_k\cdots v_2v_1\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V)

(여기서 (-)^{\operatorname{op}}반대환을 뜻한다.) \alpha(-)^\top는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 클리퍼드 수반(영어: Clifford conjugation)을 얻는다.

\bar x=\alpha(x^\top)=(\alpha(x))^\top

x\mapsto x^\topx\mapsto \bar x 역시 대합을 이룬다.

이 연산들은 \mathbb N 등급이 k인 원소 x에 대하여 다음과 같다.

\alpha(x)=(-)^kx
x^\top=(-)^{k(k-1)/2}x
\bar x=(-)^{k(k+1)/2}x

즉, 이는 k\bmod4에 대하여 다음과 같이 의존한다.

연산 k\equiv0\pmod4 k\equiv1\pmod4 k\equiv2\pmod4 k\equiv3\pmod4
\alpha(x) +x -x +x -x
x^\top +x +x -x -x
\bar x +x -x -x +x

스칼라 확대[편집]

가환환 K, \tilde K환 준동형 \phi\colon K\to\tilde KK-가군 M 및 그 위의 이차 형식 Q가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (M,Q)의 스칼라 확대 (M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 \mathbb Z/2-등급 \tilde K-대수이다.[6]:195, Proposition IV.1.2.3

\operatorname{Cliff}(M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)\cong\operatorname{Cliff}(M,Q)\otimes_K\tilde K

등급과 여과[편집]

클리퍼드 대수는 K-가군으로서 외대수 \Lambda(V;K)와 동형이므로, 자연수 등급을 갖는다. 그러나 클리퍼드 대수의 곱셈은 (v\otimes v=Q(v)이므로) 오직 \mathbb Z/2 등급만을 보존한다.

클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)에서, 짝수 등급 부분 대수 \operatorname{Cliff}_0(V,Q;K) 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약

V=\operatorname{Span}_K\{a\}\oplus U
Q(ta+u)=t^2Q(a)+Q|_U(u)\qquad\forall t\in K,\;u\in U
Q(a)\ne0

라면,

\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)\cong\operatorname{Cliff}(U,-Q(a)Q|_U;K)

이다.

클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에는 또한 자연스러운 상승 여과가 존재한다. 구체적으로, 텐서 대수 \operatorname T(V;K)등급 대수이므로 다음과 같은 상승 여과를 정의할 수 있다.

F^n\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus\cdots V^{\otimes_Kn}
K=F^0\operatorname T(V;K)\subseteq F^1\operatorname T(V;K)\subseteq F^2\operatorname T(V;K)\subseteq\cdots

클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 \mathfrak i(Q)은 이 여과와 호환된다. 구체적으로, (F^n\operatorname T(V;K)\cap\mathfrak i(Q))/\operatorname F^{n+1}\operatorname T(V;K)F^n\operatorname T(V;K)/F^{n+1}\operatorname T(V;K)아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에도 여과

F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)/\mathfrak i(Q)

가 존재한다. 이 여과로부터 정의되는 자연수 등급의 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.

\bigoplus_{n=0}^\infty\frac{F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}{F^{n-1}\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}\cong\Lambda(V;K)

노름과 내적[편집]

가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K) 위에 다음과 같은 쌍선형 형식이차 형식을 정의할 수 있다.

\langle x,y\rangle=\langle x^\top y\rangle
\tilde Q(x)=\langle x^\top x\rangle

여기서 \langle-\rangle\mathbb N 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.

이는 다음 성질을 만족시킨다.

\langle x,ay\rangle=\langle a^\top x,y\rangle

클리퍼드 군[편집]

클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 클리퍼드 군이라는 군을 이룬다. 핀 군스핀 군클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.

분류[편집]

직합에 대한 분해[편집]

가환환 K 및 임의의 두 \mathbb Z/2-등급 K-단위 결합 대수 A, A'가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

B=A\otimes_A'

위에 다음과 같은 \mathbb Z/2등급 K-단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.

B_0=A_0\otimes_KA'_0\oplus A_1\otimes_KA'_1
B_1=A_0\otimes_KA'_1\oplus A_1\otimes_KA'_0
(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes_K(a'b')\qquad(a,b\in A,\;a',b'\in A')

여기서 A_0A_1은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 \mathbb Z/2등급 K-단위 결합 대수A\hat\otimes_KA'으로 표기하자.

가환환 K 위의 두 이차 공간 (V,Q), (V',Q')이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 (V\oplus V',Q\oplus Q') 위의 클리퍼드 대수는 \mathbb Z/2-등급 K-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.[6]:195, Theorem IV.1.3.1

\operatorname{Cliff}(V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(V',Q';K)

따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.

체 위의 클리퍼드 대수의 분류[편집]

표수가 2가 아닌 체 K 위의 n차원 벡터 공간 V 위의 비퇴화 이차 형식 Q로 정의되는 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)등급 중심 단순 대수(영어: graded central simple algebra)이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.[4]:111, §V.2

아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체 K 위의 2^n차원 중심 단순 대수는 어떤 K-중심 단순 대수2^k차원 나눗셈환 D 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(2^{n-k};D)과 동형이다.

복소수 클리퍼드 대수[편집]

K=\mathbb C복소수체이며, (V,Q)비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 n=\dim_{\mathbb C}V만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)로 쓰면, 이는 \mathbb C-단위 결합 대수로서 다음과 같다.

\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)\cong\begin{cases}
\operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb C)&2\mid n\\
\operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)\oplus \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)&2\nmid n
\end{cases}

즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.

\operatorname{Cliff}(n+2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)

특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.

\operatorname{Cliff}(0;\mathbb C)\cong\mathbb C
\operatorname{Cliff}(1;\mathbb C)\cong\mathbb C\oplus\mathbb C (테사린, tessarine)
\operatorname{Cliff}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C) (2×2 복소 행렬)

실수 클리퍼드 대수[편집]

K=\mathbb R실수체이며, V가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, Q부호수(p,q)비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

\operatorname{Cliff}(0,0;\mathbb R)\cong\mathbb R (실수)
\operatorname{Cliff}(0,1;\mathbb R)\cong\mathbb C (복소수)
\operatorname{Cliff}(1,0;\mathbb R)\cong\mathbb R\oplus\mathbb R (분할복소수)
\operatorname{Cliff}(0,2;\mathbb R)\cong\mathbb H (사원수)
\operatorname{Cliff}(2,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Cliff}(1,1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R) (2×2 실수 행렬)

또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.

\operatorname{Cliff}(p+2,q;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R)
\operatorname{Cliff}(p+1,q+1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)
\operatorname{Cliff}(p,q+2;\mathbb R)\cong\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R)

이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

즉, 실수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)들은 다음과 같은 클리퍼드 시계(Clifford時計, 영어: Clifford clock)로 나타낼 수 있다.

\begin{matrix}
_{\displaystyle\mathsf8}&&^{\displaystyle\mathsf1}&&_{\displaystyle\mathsf2}\\
&_{\displaystyle\mathbb R}&^{\displaystyle\mathbb R^{\oplus2}}&_{\displaystyle\mathbb R}\\
\mathsf7\quad&\mathbb C\quad&&\quad\mathbb C&\quad\mathsf3\\
&^{\displaystyle\mathbb H}&_{\displaystyle\mathbb H^{\oplus2}}&^{\displaystyle\mathbb H}\\
^{\displaystyle\mathsf6}&&_{\displaystyle\mathsf5}&&^{\displaystyle\mathsf4}
\end{matrix}

즉, \operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)p-q\bmod8이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 \dim_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)=2^{p+q}으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, n\equiv3\pmod8일 때

\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))=\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3})\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3})

이다.

홀수 표수의 유한체[편집]

홀수 표수의 유한체 K=\mathbb F_q 위의 n차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식

Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)

이 주어졌다고 하자. 이 경우

\delta=[(-1)^{n(n-1)/2}a_1a_2\cdots a_n]\in\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2\cong\mathbb Z/2

을 정의하자. 이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

\delta n \operatorname{Cliff}(\mathbb F_q^n,Q;\mathbb F_q) \operatorname{Cliff}_0(\mathbb F_q^n,Q;\mathbb F_q) \operatorname O(V,Q;\mathbb F_q)
제곱수 (Q가 플러스형) 짝수 \operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb F_q) \operatorname{Mat}(2^{n/2-1};\mathbb F_q)^2 \operatorname O^+(n;\mathbb F_q)
제곱수 홀수 \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q)^2 \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q) \operatorname O(n;\mathbb F_q)
제곱수가 아님 (Q가 마이너스형) 짝수 \operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb F_q) \operatorname{Mat}(2^{n/2-1};\mathbb F_{q^2}) \operatorname O^-(n;\mathbb F_q)
제곱수가 아님 홀수 \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_{q^2}) \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q) \operatorname O(n;\mathbb F_q)

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

표수 2의 유한체[편집]

표수 2에서는 등급 텐서곱 \hat\otimes이 일반 텐서곱 \otimes과 같다. 표수 2의 유한체 K=\mathbb F_{2^e} 위의 2n차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.

Q_1=\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto k_1k_2\right)
Q_2\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto(k_1^2+k_1k_2+ak_2^2)\right),\qquad a\in K\setminus\{b^2+b\colon b\in K\}

이 경우 \operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^2,Q_1)\operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^n}^2,Q_2) 둘 다 K 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 2n차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 Q의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.

\operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^{2n},Q;\mathbb F_{2^e})\cong\operatorname{Mat}(2^n;\mathbb F_{2^e})

\mathbb F_{2^e} 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 Q는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 Q_{\text{nondeg}}과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.

Q=Q_{\text{nondeg}}\oplus\begin{cases}
\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1)\\
\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0)
\end{cases}

\operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0);\mathbb F_{2^e})\operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1);\mathbb F_{2^e} 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수

\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{diag}(1);K\right)=K[x]/(x^2+1)

에서 y=x+1로 놓으면 y^2=0이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 \Lambda(K)=K[y]/(y^2)와 동형이다.

[편집]

가환환 K 위의 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(V,Q;K)는 특수한 경우 다음과 같다.

  • 만약 Q=0이라면 \operatorname{Cliff}(V,0;K)=\Lambda(V;K)외대수이다.
  • 만약 V=0이 자명 가군이며, Q=0이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, \operatorname{Cliff}(0,0;K)\cong K이다.

1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수[편집]

만약 V=K가 1차원 자유 가군이며, Q\colon k\mapsto ak^2라면, \operatorname{Cliff}(K,Q;K)\cong K[x]/(x^2-a)이다. 따라서, 이 경우는 a=Q(1)의 동치류 [a]\in K/K^2에 의하여 분류된다.

만약 추가로 K가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면,

K[x]/(x^2-a)\cong\begin{cases}K\oplus K&a\ne0\\\Lambda(K)&a=0\end{cases}

이다. 구체적으로, a\ne0일 경우

y_\pm=\frac12(1\pm x/\sqrt a)

를 정의한다면,

y_\pm^2=y_\pm

이므로 K[x]/(x^2-a)\cong Ky_+\oplus Ky_-가 된다.

2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수[편집]

K 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수(영어: quaternion algebra, 프랑스어: algèbre de quaternions)라고 한다.

체 위의 사원수형 대수는 으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2 K 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(2;K)과 동형이다. 후자의 경우, 분할 사원수형 대수(영어: split quaternion algebra, 프랑스어: algèbre de quaternions déployée)라고 한다.

K표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.

\left(\frac{a,b}K\right)=\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{Span}_K\{i,j\},\operatorname{diag}(a,b);K\right)
=\frac{K\langle i,j\rangle}{(i^2-a,j^2-b,ij+ji)}\qquad(\deg i=\deg j=1)

보통 (사원수와 마찬가지로) ij=-ji=k로 표기한다.

K표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • (\tfrac{a,b}K)가 분할 사원수형 대수이다.
  • 힐베르트 기호 (a,b)_K=1이다. 즉, z^2=ax^2+by^2의 해가 K에서 존재한다.

사원수의 환 \mathbb H는 실수체 위의 사원수형 대수 (\tfrac{-1,-1}K)이다.

클리퍼드 해석학[편집]

복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.[7][8][9]

디랙 작용소[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 위의 \mathcal C^1 함수

f\colon U\to\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 작용소

D=\sum_{i=1}^ne_i\frac\partial{\partial x_i}

를 생각할 수 있다 (e_i\mathbb R^n정규 직교 기저). 만약 f

0=\overset\rightarrow Df=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(e_if(x))

를 만족시킨다면, f왼쪽 정칙 함수(영어: left holomorphic/monogenic/regular function)라고 하며, 만약 f

0=f\overset\leftarrow D=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(f(x)e_i)

를 만족시킨다면, f오른쪽 정칙 함수(영어: right holomorphic/monogenic/regular function)라고 한다.

디랙 작용소의 제곱은

D^2=\sum_{i,j=1}^ne_ie_j\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}
=-\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}=-\nabla^2

이므로, iD라플라스 연산자 \nabla^2의 일종의 제곱근이다.

코시 적분 공식[편집]

클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분정리가 성립한다. 즉,

그렇다면, 다음이 성립한다.

0=\oint_{\partial V}g(x)\hat n_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm d\!x^{n-1}

여기서

또한, 다음이 성립한다.

f(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{(x-x_0)\hat n_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\!x^{n-1}
g(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{g(x)\hat n_{\partial V}(x)(x-x_0)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\!x^{n-1}

여기서

\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}

n-1차원 단위 초구의 넓이이다.

등각 변환[편집]

리만 구 \hat{\mathbb C} 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환

z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\qquad(a,b,c,d\in\mathbb C,\;ad-bc\ne0)

로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, \mathbb S^n=\widehat{\mathbb R^n} 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R) 계수의 뫼비우스 변환

x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}\qquad\left(a,b,c,d\in\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\right)

으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

등각 변환알포르스-팔렌 행렬(영어: Ahlfors–Vahlen matrix)이라고 한다. 2×2 행렬

M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(2;\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R))에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[10]:§7.5, 104
  • M은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, \widehat{\mathbb R^n} 위의 등각 변환을 정의한다.
  • ac^\top,bd^\top\in\mathbb R^n이며, ad^\top-bc^\top\in\mathbb R\setminus\{0\}이다.

특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.[10]:§7.4, 103

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}d^\top&-b^\top\\-c^\top&a^\top\end{pmatrix}

응용[편집]

K이론[편집]

위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.[11]

물리학[편집]

양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 \gamma^\mu (\mu=0,1,2,3)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C)를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 \sigma^1,\sigma^2,\sigma^3들은 \{\sigma^i,\sigma^j\}=2\delta^{ij}\sigma^i를 만족시키며, 클리퍼드 대수 \operatorname{Cliff}(3,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.

역사[편집]

영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회(영어: London Mathematical Society)에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉(영어: On the classification of geometric algebras)라는 제목의 강의를 하였으며,[12] 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.[13]

루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.[14][15][1]:220, §17.2

알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌(독일어: Karl Theodor Vahlen)[16]이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드라르스 알포르스[10][17][18]가 재발견하였다.

1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로(영어: Arnold Samuel Shapiro)는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.[11]

참고 문헌[편집]

  1. Lounesto, Pertti (2001년 5월). 《Clifford algebras and spinors》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 286 2판. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526022. ISBN 978-0-521-00551-7. 
  2. Garling, D. J. H. (2011년 7월). 《Clifford algebras: an introduction》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 78. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511972997. ISBN 978-1-1070-9638-7. 
  3. Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4. Zbl 1144.15025. 
  4. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  5. Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). 《Noncommutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 144. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. ISBN 978-1-4612-6936-6. ISSN 0072-5285. 
  6. Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008. 
  7. Delanghe, Richard (2001). “Clifford analysis: history and perspective”. 《Computational Methods and Function Theory》 (영어) 1 (1): 107–153. doi:10.1007/BF03320981. ISSN 1617-9447. Zbl 1011.30045. 
  8. Brackx, F.; Delanghe, R.; Sommen, F. (1982). 《Clifford analysis》. Research Notes in Mathematics (영어) 76. Pitman. ISBN 0-2730-8535-2. MR 0697564. Zbl 0529.30001. 
  9. Gilbert, J.; Murray, M. (1991). 《Clifford algebras and Dirac operators in harmonic analysis》 (영어). Cambridge University Press. MR 1130821. Zbl 0733.43001. 
  10. Ahlfors, Lars V. (1984). “Old and new in Möbius groups” (PDF). 《Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Serie A.I. Mathematica》 (영어) 9: 93–105. doi:10.5186/aasfm.1984.0900. ISSN 1239-629X. 
  11. Atiyah, Michael; Bott, Raoul; Shapiro, Arnold (1964). “Clifford modules”. 《Topology》 (영어) 3 (Supplement 1): 3–38. doi:10.1016/0040-9383(64)90003-5. 
  12. Spottiswoode, W. (1876). “March 10th, 1876”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 7: 135–136. doi:10.1112/plms/s1-7.1.119. ISSN 0024-6115. 
  13. Clifford, W. K. (1878). “Applications of Grassmann’s extensive algebra”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 1 (4): 350–358. doi:10.2307/2369379. ISSN 0002-9327. JFM 10.0297.02. JSTOR 2369379. 
  14. Lipschitz, Rudolf (1880). “Principes d’un calcul algébrique qui contient comme espèces particulieres le calcul des quantités imaginaires et des quaternions (extrait d’un lettre adressée à M. Hermite)”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 91: 619–621, 660–664. 
  15. Lipschitz, Rudolf (1886). 《Untersuchungen über die Summen von Quadraten》 (독일어). : Max Cohen und Sohn. JFM 18.0152.02. 
  16. Vahlen, Karl Theodor (1902). “Ueber Bewegungen und complexe Zahlen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 55 (4): 585–593. doi:10.1007/BF01450354. ISSN 0025-5831. 
  17. Ahlfors, L. V. (1986). “Möbius transformations in ℝn expressed through 2×2 matrices of Clifford numbers”. 《Complex Variables, Theory and Application: An International Journal》 (영어) 5: 215–224. doi:10.1080/17476938608814142. ISSN 0278-1077. 
  18. Ahlfors, Lars V. (1986). 〈Clifford numbers and Möbius transformations in ℝn〉. 《Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics》. North Atlantic Treaty Organization Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences (영어) 183. Springer. doi:10.1007/978-94-009-4728-3_15. ISBN 978-94-010-8602-8. ISSN 1389-2185. 

바깥 고리[편집]