쌍선형 형식

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선형대수학에서, 쌍선형 형식(雙線型形式, 문화어: 쌍1차형식[1], 영어: bilinear form)은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 선형인 스칼라 값의 함수이다.

정의[편집]

가환환 위의 가군 위의 쌍선형 형식 는 다음과 같은 가군 준동형이다.[2]:235[3]:54, (3.13)

여기서 -가군의 직합이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 이다.

  • (왼쪽 선형성) 임의의 , 에 대하여,
  • (오른쪽 선형성) 임의의 , 에 대하여,

가환환 가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.

에 대한 반쌍선형 형식(半雙線型形式, 영어: sesquilinear form) 는 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.

  • (왼쪽 반선형성) 임의의 , 에 대하여,
  • (오른쪽 선형성) 임의의 , 에 대하여,

일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, 힐베르트 공간 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

대칭 형식[편집]

가환환 위의 가군 위의 쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 대칭 쌍선형 형식(對稱雙線型形式, 영어: symmetric bilinear form)이라고 한다.[2]:235[3]:54, (3.13)

가환환 위의 가군 위의 쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 반대칭 쌍선형 형식(反對稱雙線型形式, 영어: antisymmetric bilinear form, skew-symmetric bilinear form)이라고 한다.[3]:54, (3.13)

가환환 위의 가군 위의 쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 교대 쌍선형 형식(交代雙線型形式, 영어: alternating bilinear form)이라고 한다.[2]:235[3]:54, (3.13)

라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

  • 표수가 2가 아닌 인 경우 : 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
  • 표수가 2인 인 경우: 교대 형식 반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형 를 갖는 가환환 위의 가군 위의 반쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 에르미트 반쌍선형 형식(Hermite半雙線型形式, 영어: Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 반에르미트 반쌍선형 형식(反Hermite半雙線型形式, 영어: anti-Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

만약 표수가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. 교대 반쌍선형 형식(交代半雙線型形式, 영어: alternating sesquilinear form)의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

비퇴화 형식[편집]

위의 벡터 공간 위의 쌍선형 형식 왼쪽 근기(영어: left radical)와 오른쪽 근기(영어: right radical)는 각각 다음과 같다.

대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 근기(영어: radical) 라고 한다.

위의 벡터 공간 위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 의 근기가 이라면, 비퇴화 쌍선형 형식(非退化雙線型形式, 영어: nondegenerate bilinear form)이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.

이 경우, 를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형

이 주어진다. (만약 가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, 가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 −1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식[편집]

위의 벡터 공간 위의 쌍선형 형식 대응하는 이차 형식(영어: associated quadratic form) 은 다음과 같은 이차 형식이다.

쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

홀수 표수[편집]

표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 를 대칭 성분과 반대칭 성분

으로 분해할 수 있으며, 에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

그렇다면 에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

짝수 표수[편집]

의 표수가 2인 경우, 를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, 가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

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이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식[편집]

2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 이차 형식을 생각하자.

표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.

만약 표수가 2인 경우, 를 정의할 수 없다. 만약 이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

짝수 표수에서 반대칭이 아닌 교대 형식[편집]

표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.

이는 교대 쌍선형 형식이지만,

이므로 (반)대칭 형식이 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. “쌍1차형식”. 북한과학기술네트워크. 
  2. Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. 
  3. Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. 

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]