측도론 에서 르베그 측도 (영어 : Lebesgue measure )는 유클리드 공간 의 부분 집합에 길이 , 넓이 또는 부피 를 할당하는 방법이다. 이를 사용하여 르베그 적분 을 정의할 수 있다.
르베그 측도 는 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
보렐 측도 의 완비화 이다.
구체적으로, 이는 다음과 같다.
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
곱측도 로 정의할 수 있으므로,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
르베그 외측도
λ
∗
:
P
(
R
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \lambda ^{*}\colon {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}
λ
∗
(
S
)
=
inf
{
∑
i
=
1
∞
|
b
i
−
a
i
|
:
a
i
,
b
i
∈
R
,
S
⊂
⋃
i
=
1
∞
[
a
i
,
b
i
]
}
{\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|b_{i}-a_{i}|\colon a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,\;S\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }[a_{i},b_{i}]\right\}}
르베그 가측 집합 은 다음 성질을 만족시키는 집합
S
⊂
R
{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }
모든
T
⊂
R
{\displaystyle T\subset \mathbb {R} }
λ
∗
(
T
)
=
λ
∗
(
T
∩
S
)
+
λ
∗
(
T
∖
S
)
{\displaystyle \lambda ^{*}(T)=\lambda ^{*}(T\cap S)+\lambda ^{*}(T\setminus S)}
르베그 가측 집합의 집합
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
시그마 대수 를 이룸을 보일 수 있다.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
르베그 측도
λ
=
λ
∗
|
L
{\displaystyle \lambda =\lambda ^{*}|_{\mathcal {L}}}
(
R
,
L
,
λ
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}},\lambda )}
측도 공간 을 이룸을 보일 수 있다.
k
{\displaystyle k}
λ
{\displaystyle \lambda }
모든 보렐 집합 은 르베그 가측 집합이다.
르베그 측도는 완비 측도 이다. 즉, 어떤 집합이 르베그 가측 집합이며 측도가 0이면, 그 부분집합 또한 가측 집합이다.
(이동 불변성 영어 : translation invariance ) 임의의 르베그 가측 집합
A
⊂
R
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} }
b
∈
R
k
{\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{k}}
A
+
b
=
{
a
+
b
:
a
∈
A
}
{\displaystyle A+b=\{a+b\colon a\in A\}}
E
{\displaystyle E}
르베그 가측 집합 [ 편집 ] 비탈리 정리 에 따르면 선택 공리 를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설 등의 결과를 가져온다. 비탈리 집합 은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, 결정 공리 를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정가능하다는 것을 증명할 수 있다.
선택 공리를 가정하자. 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는
ℶ
2
=
2
2
ℵ
0
{\displaystyle \beth _{2}=2^{2^{\aleph _{0}}}}
보렐 집합 의 수는
ℶ
1
=
2
ℵ
0
{\displaystyle \beth _{1}=2^{\aleph _{0}}}
모든 르베그 가측 집합
L
{\displaystyle L}
L
=
G
∖
N
=
F
∪
N
′
{\displaystyle L=G\setminus N=F\cup N'}
여기서
N
{\displaystyle N}
N
′
{\displaystyle N'}
영집합 이다.
G
{\displaystyle G}
Gδ 집합 이다 (따라서 보렐 집합 이다).
F
{\displaystyle F}
Fσ 집합 이다 (따라서 보렐 집합 이다).선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
칸토어 집합 은 크기가
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
외부 링크 [ 편집 ] 
![{\displaystyle \lambda ^{*}\colon {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40828f4afd6213912b7f29be082f390898c16624)
![\lambda ^{*}(S)=\inf \left\{\sum _{{i=1}}^{\infty }|b_{i}-a_{i}|\colon a_{i},b_{i}\in {\mathbb R},\;S\subset \bigcup _{{i=1}}^{\infty }[a_{i},b_{i}]\right\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a8d1039fdb9faef8f897af5099937d9e45d27e)
