비탈리 집합

수학에서 비탈리 집합(영어: Vitali set)은 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 예이다.

정의

비탈리 집합 $V\subset [0,1]$은 다음 성질을 만족시키는 집합이다.

• 임의의 실수 $r\in \mathbb {R}$에 대하여, $\left|(\mathbb {Q} +r)\cap V\right|=1$이다.

비탈리 집합의 존재는 선택 공리를 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다. 유리수의 덧셈군 $\mathbb {Q} \triangleleft \mathbb {R}$은 실수의 덧셈군의 정규 부분군이므로, 몫군 $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$이 존재한다. 이 몫군의 각 원소에서, 단위 구간 $[0,1]$에 속하는 대표원을 고른다. 그렇다면 이 대표원들의 집합은 비탈리 집합이다.

성질

비탈리 집합의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$이다. 비탈리 집합은 또한 다음 성질들을 만족시킨다.

• 르베그 가측 집합이 아니다.
  • 비탈리 집합 $V$에 대하여, $[0,1]\subseteq \bigsqcup _{q\in [-1,1]\cap \mathbb {Q} }(V+q)\subseteq [-1,2]$이다. 만약 비탈리 집합이 가측 집합이라면 $1=\mu ([0,1])\leq \infty \cdot \mu (V)\leq \mu ([-1,2])=3$이어야 하는데, 이는 불가능하다.
• 준열린집합이 아니다.
• 조밀한 곳이 없는 집합이 아니다.
  • $\mathbb {R} =\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }(V+q)$이므로, 제3 베르 범주 정리에 따라 $V$는 조밀한 곳이 없는 집합이 아니다.
• 제1 범주 집합이 아니다.

역사

이탈리아의 수학자 주세페 비탈리가 정의하였다.

같이 보기

• 르베그 측도
• 바나흐-타르스키 역설