비탈리 집합

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수학에서, 비탈리 집합(영어: Vitali set)은 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 예이다.

정의[편집]

비탈리 집합 은 다음 성질을 만족시키는 집합이다.

  • 임의의 실수 에 대하여, 이다.

비탈리 집합의 존재는 선택 공리를 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다. 유리수의 덧셈군 은 실수의 덧셈군의 정규부분군이므로, 몫군 이 존재한다. 이 몫군의 각 원소에서, 단위 구간 에 속하는 대표원을 고른다. 그렇다면 이 대표원들의 집합은 비탈리 집합이다.

성질[편집]

비탈리 집합의 크기이다. 비탈리 집합은 또한 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 르베그 가측 집합이 아니다.
    • 비탈리 집합 에 대하여, 이다. 만약 비탈리 집합이 가측 집합이라면 이어야 하는데, 이는 불가능하다.
  • 준열린집합이 아니다.
  • 조밀한 곳이 없는 집합이 아니다.
    • 이므로, 제3 베르의 범주 정리에 따라 는 조밀한 곳이 없는 집합이 아니다.
  • 제1 범주 집합이 아니다.

역사[편집]

이탈리아의 수학자 주세페 비탈리가 정의하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Vitali, Giuseppe (1905). 《Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta》 (이탈리아어). 볼로냐: Tipografia Gamberini e Parmeggiani. JFM 36.0586.03. 

같이 보기[편집]