준열린집합

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일반위상수학에서, 준열린집합(準-集合, 영어: almost open set) 또는 베르 성질 집합(Baire性質集合, 영어: set with the property of Baire)은 열린집합 또는 닫힌집합제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.

정의[편집]

위상 공간 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.

  • : 제1 범주 집합들의 족
  • : 열린집합들의 족
  • : 닫힌집합들의 족
  • : Fσ 집합들의 족
  • : Gδ 집합들의 족
  • : 보렐 집합들의 족

또한, 가 집합족 를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 라고 표기하자.

여기서 대칭차이다. 의 원소를 준열린집합이라고 한다.[1]:47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23

증명:

다음 기호를 정의하자.

보렐 시그마 대수는 정의에 따라 이므로, 자명하게

이다. 또한, 자명하게

이다. 또한,

임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

를 보이면 족하다.

  • : 임의의 집합 에 대하여, 이며, 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, 이다. 이제 을 정의하자. 그렇다면, 이므로 이며, 이다.
  • :
    • 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다.
    • 여집합에 대한 닫힘: 편의상, 로 표기하자. 임의의 에 대하여, 이며 라고 하자. 그렇다면, 이며, 이므로 이다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

위상 공간부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

정칙 열린집합열린집합
열린닫힌집합 보렐 집합
정칙 닫힌집합닫힌집합 준열린집합 ⇒ 부분 집합
조밀 집합여집합조밀한 곳이 없는 집합제1 범주 집합

연산에 대한 닫힘[편집]

위상 공간 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,

  • 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
  • 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
  • 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.

모든 열린집합닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

[편집]

선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

역사[편집]

르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. 
  2. Baire, René (1905). 《Leçons sur les fonctions discontinues professées au collège de France》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0438.01. 

외부 링크[편집]