칸토어 집합

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수학에서, 칸토어 집합(영어: Cantor set)은 0과 1 사이의 실수로 이루어진 집합으로, 부터 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어진다.

칸토어 집합을 제작하기 위해 7번 반복한 과정

정의[편집]

칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.

  1. 처음 구간은 에서 시작한다.
  2. 구간을 3등분한 후, 가운데 개구간 을 제외한다. 그러면 가 남는다.
  3. 두 구간 , 의 가운데 구간을 제외한다.
  4. 계속해서 반복한다.

또는, 앞 단계의 구간을 크기로 줄인 다음 두 개를 배치하는 방식으로도 같은 집합을 얻을 수 있다. 즉,

이 된다.

성질[편집]

크기[편집]

칸토어 집합에 포함되는 수는 삼진법 소수로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는 가 빠지고, 두 번째 단계에는 가 빠지는 과정이 계속해서 일어난다. 또한 이것을 이용해 칸토어 집합의 수를 0과 1 사이의 모든 실수와 일대일 대응시킬 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

따라서 칸토어 집합은 비가산 집합이며, 크기가 이다.

측도 및 위상수학적 성질[편집]

칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 이 된다. 이 길이를 모두 합하면

이 된다. 즉, 칸토어 집합은 르베그 측도가 0이다. 또한, 칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합이며, 완전 집합이다.

프랙털 성질[편집]

칸토어 집합은 자기닮음 성질을 가지고 있는 프랙털이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 하우스도르프 차원

이다.

바깥 고리[편집]