르베그 적분

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리만 적분은 적분 영역을 세로로 나누어 계산하지만, 르베그 적분은 적분 영역을 가로로 나누어 계산한다.

측도론에서, 르베그 적분(Lebesgue積分, 영어: Lebesgue integral)은 일반적인 측도 공간 위에 정의될 수 있는 적분이다. 실수선 위에서의 르베그 적분은 리만 적분보다 더 일반적이다. 르베그 적분은 리만 적분에 비해서 정의하는 방식이 극한 개념 등과 잘 어울리기 때문에, 해석학이나 확률론 등의 분야에 주로 사용된다.

정의[편집]

르베그 적분은 르베그 측도를 기반으로 하여 정의하며, 지시 함수와 같이 간단한 함수부터 정의한 다음 점차 일반적인 함수에 대해서 정의한다. 측도 공간 위의 단순 함수(영어: simple function) 가측 집합 위의 지시 함수들의, 음이 아닌 계수를 가진 유한 선형 결합이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

단순함수들의 집합을 라고 하자. 단순 함수 르베그 적분은 다음과 같다.

가 실수의 보렐 시그마 대수라고 하자. 가측 함수 르베그 적분 는 다음과 같다.

가측 집합 에 국한된 르베그 적분은 다음과 같다.

유클리드 공간 위의 르베그 적분은 보통 르베그 측도를 갖춘 경우를 의미한다.

리만 적분과의 관계[편집]

르베그 적분은 일반적으로 적분에서 사용하는 리만 적분과는 다른 방식으로 정의하지만, 리만 적분과 르베그 적분이 모두 존재할 경우 두 적분값은 같다. 또한, 리만 적분이 불가능하지만 르베그 적분이 가능한 경우도 존재한다.

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유리수 집합 위의 지시 함수 리만 적분이 존재하지 않는다. 그러나 그 르베그 적분은 존재하며,

이다.

역사[편집]

앙리 르베그가 박사 학위 논문에서 1902년 정의하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. Lebesgue, Henri (1902). 《Intégrale, longueur, aire》 (프랑스어). 
  2. Lebesgue, Henri (1904). 《Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives》 (프랑스어). Gauthier-Villars. 
  • Hawkins, Thomas. 《Lebesgue’s theory of integration: Its origins and development》 (영어) 2판. AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-082840282-8. 
  • Bauer, Heinz (2001). 《Measure and integration theory》. De Gruyter Studies in Mathematics (영어) 26. Berlin: De Gruyter. 236쪽. ISBN 978-3-11-016719-1. 
  • Folland, Gerald B. (1999). 《Real analysis: Modern techniques and their applications》. Pure and Applied Mathematics (New York) (영어) Seco판. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-31716-0. MR 1681462. 
  • Munroe, M. E. (1953). 《Introduction to measure and integration》 (영어). Addison-Wesley. MR 0053186. 

바깥 고리[편집]