측도

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측도론에서, 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 "크기"를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 직선에서의 길이, 평면에서의 넓이 · 3차원 공간에서의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다.

정의[편집]

가측 공간 위의 측도는 다음 성질들을 만족시키는 함수

이다.

측도 공간(영어: measure space) 가측 공간 과 측도 순서쌍이다.

성질[편집]

임의의 측도 공간 에서 다음 명제들이 성립한다.

  • (단조성) 부분 순서 집합 에서 음이 아닌 확장 실수선의 전순서 집합 으로 가는 함수 단조함수이다. 즉, 이며 라면 이다.
  • 만약 라면, 다음이 성립한다.

[편집]

  • 셈측도는 집합의 원소 갯수를 의미하는 측도이다.
  • 르베그 측도는 유클리드 공간의 길이, 넓이, 부피 의미를 측도의 정의에 맞도록 확장한 측도의 예이다.
  • 확률 측도는 전체집합의 측도가 1인 측도()이다. 확률 공간은 주어진 측도가 확률 측도인 측도 공간이다.
  • 디랙 측도(영어: Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 에 대해, 디랙 측도 가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

이외에도 하우스도르프 측도, 하르 측도, 보렐 측도, 조르당 측도 등이 존재한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]