측도

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수학에서, 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다.[1] 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, 영어: measure theory)이라고 한다.

정의[편집]

측도[편집]

불 대수의 두 원소 에 대하여, 라면 두 원소가 서로소(-素, 영어: disjoint)라고 한다.

임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 (비가산일 수 있는) 집합 의 합을 다음과 같이 정의하자.[2]:129, (10.10)

임의의 기수 가 주어졌다고 하자. -완비 불 대수 위의 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, -가법 측도(-加法測度, 영어: -additive measure)라고 한다.

  • 임의의 서로소 원소들로 구성된 부분 집합 에 대하여, 만약 라면, .
    • (특히, 일 때, 일 경우 이다.)
    • (특히, 일 때, 임의의 에 대하여 이므로, 증가 함수이다.)

여기서 는 음이 아닌 확장된 실수전순서 집합이며, 상한을 뜻하며, 은 시그마 대수의 최소 원소이다.

만약 일 경우, 유한 가법 측도(有限加法測度, 영어: finitely additive measure)라고 한다. 만약 인 경우, -완비 불 대수시그마 대수라고 하며, 가산 가법 측도(加算加法測度, 영어: countably additive measure) 또는 시그마 가법 측도(σ加法測度, 영어: sigma-additive measure) 또는 단순히 측도라고 한다.

불 대수 위의 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 유한 가법 측도이다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • (증가성) 만약 라면,
    • (모듈러성) 임의의 에 대하여,

유한 측도[편집]

-완비 불 대수 위의 -가법 측도 에 대하여, 만약 라면 유한 측도(有限測度, 영어: finite measure)라고 한다. 만약 이라면 확률 측도라고 한다.

시그마 대수 위의 가산 가법 측도 에 대하여, 만약

를 만족시키는 부분 집합 가 존재한다면, 시그마 유한 측도(σ有限測度, 영어: sigma-finite measure)라고 한다.

불 대수 위의 유한 가법 측도 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 준유한 측도(準有限測度, 영어: semifinite measure)라고 한다.[3]:97, Exercise 1.12.132

임의의 에 대하여, 만약 이라면, 가 존재한다.

완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도를 마하람 측도(영어: Maharam measure) 또는 국소화 가능 측도(영어: localizable measure)라고 한다.[3]:97, Exercise 1.12.134

영집합의 순서 아이디얼[편집]

-완비 불 대수 위의 측도 가 주어졌을 때, 그 영원소(零元素, 영어: null element)는 측도가 0인 원소이다. 그 집합을 다음과 같이 표기하자.

이는 -완비 순서 아이디얼을 이루며, 따라서 몫 대수 를 정의할 수 있고, 는 그 위에 잘 정의된다. 이 경우, 추가로 다음 성질이 성립한다.

즉, 이 경우 자명하지 않은 영원소들을 없앨 수 있다.

측도 공간[편집]

측도 대수(測度代數, 영어: measure algebra)는 시그마 대수 와 그 위의 측도 순서쌍 이다.[4]:277, §9.3

가측 공간 에서, 가측 집합들의 집합족 시그마 대수를 이룬다. 측도 공간 가측 공간 위의 측도 순서쌍이다. 만약 가 확률 측도라면, 확률 공간이라고 한다.

연산[편집]

합측도[편집]

임의의 측도 공간들의 족 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 분리합집합

위에 시그마 대수

를 부여하고, 그 위에 측도

를 부여할 수 있다.

곱측도[편집]

측도 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 위에 시그마 대수

를 부여하자. (여기서 는 주어진 집합족으로 생성되는 최소의 시그마 대수를 뜻한다.) 이제, 추가로 이 시그마 유한 측도라면, 위에 다음과 같은 측도를 부여할 수 있다.

시그마 유한 조건 아래, 이는 다음 항등식을 만족시키는, 위의 유일한 측도이다.

(우변에서 으로 놓는다.)

그러나 만약 시그마 유한 조건이 성립하지 않는다면 위 등식이 성립하지 못할 수 있다.

성질[편집]

임의의 측도 공간 에서 다음 명제들이 성립한다.

  • (단조성) 부분 순서 집합 에서 음이 아닌 확장 실수선의 전순서 집합 으로 가는 함수 단조함수이다. 즉, 이며 라면 이다.
  • 만약 라면, 다음이 성립한다.

거리 구조[편집]

불 대수 위의 유한 가법 측도 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위에 다음과 같은 확장된 유사 거리 함수(영어: extended pseudometric) 를 정의할 수 있다.

여기서 대칭차이다.

증명:

ABC Venn Diagram.svg

자명하지 않은 유일한 조건은 삼각 부등식이다. 임의의 에 대하여,

이므로 (벤 다이어그램 참고)

이다.

만약 가 유한 측도라면, 이는 유사 거리 공간을 이루며, 측도 대수 거리 공간을 이룬다.

원자[편집]

불 대수 위의 유한 가법 측도 가 주어졌을 때, 영원소들의 순서 아이디얼

을 생각하자. 원자(原子, 영어: atom)는 극소 원소이다. (다시 말해, 몫대수 순서론적 원자이다.) 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 원소 이다.

  • 임의의 에 대하여,

원자를 갖지 않는 측도를 비원자적 측도(非原子的測度, 영어: nonatomic measure)라고 한다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 는 (추상적) 시그마 대수이다.
  • 는 그 위의 비원자적 가산 가법 측도이다. 또한, 이다.

그렇다면, 비원자적 측도에 대한 중간값 정리(영어: intermediate-value theorem for nonatomic measures)에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 가 존재한다.

  • 증가 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다.
  • 오른쪽 역함수이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다.

증명:

증명은 다음과 같다.

  • ① 어떤 부분 정의 함수들의 부분 순서 집합 는 극대 원소 를 갖는다.
  • ② 그 정의역 조밀 순서 집합이다.
  • 이다.

부분 정의 함수들의 집합

이 정의에 등장하는 두 조건을 만족시키는 (즉, 증가 함수이며 오른쪽 역함수인) 부분 정의 함수들로 구성되었다고 하자. 이 위에 통상적인 부분 순서

를 주자. 그렇다면, 닫힌 부분 순서 집합임을 쉽게 확인할 수 있으며, 초른의 보조 정리에 의하여 극대 원소 를 갖는다.

귀류법을 사용하여, 임의의 에 대하여, 이며 라고 하자. 그렇다면, 의 원자가 되어 가정에 모순된다.

귀류법을 사용하여, 이라고 하자. 속에 포함되는 열린구간들의 족은 초른의 보조 정리에 의하여 극대 원소 를 갖는다. 극대 원소의 정의에 따라, 로 수렴하는 증가 수열

로 수렴하는 감소 수열

가 존재한다. 이제,

를 정의하면,

가 되므로, 이며, ②에 따라 가 존재하는데, 이는 모순이다.

따라서, 이러한 크기 이상이며, 만약 어떤 집합 에 대하여 라면 의 크기 역시 이상이다.

분류[편집]

가산 가법 측도 대수 가 다음 조건을 만족시킨다면 동질 측도 대수(同質測度代數, 영어: homogeneous measure algebra)라고 한다.

  • 임의의 두 에 대하여, 만약 일 경우, 이다.

여기서 는 (유사 거리 공간으로서의) 무게이며, 하집합을 뜻하며, 하집합에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.

마하람 정리(영어: Maharam’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.[4]:280, Theorem 9.3.5(i)[5]:109, Theorem 1
  • 모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수 에 대하여 와 동형이다.[4]:280, Theorem 9.3.5(ii)[5]:111, Theorem 2

여기서, 는 곱공간 의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간 위에 르베그 측도를 부여한 뒤, 개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.

[편집]

집합 위의 측도[편집]

임의의 불 대수 위에서, 값 0을 갖는 상수 함수는 항상 유한 가법 측도를 이루며, 만약 -완비 불 대수라면 이는 -가법 측도이다.

셈측도는 집합의 원소 갯수를 의미하는 측도이다. 이는 유한 집합 위에 사용되는 통상적인 측도이다.

디랙 측도(영어: Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 에 대해, 디랙 측도 가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

집합론에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 기수가측 기수라고 한다.

불 대수 위의 극대 필터 가 주어졌을 때, 다음과 같은 유한 가법 확률 측도를 정의할 수 있다.

위상 공간[편집]

임의의 거리 공간 위에는 하우스도르프 측도라는 측도가 존재한다.

유클리드 공간 위에는 통상적으로 르베그 측도가 사용된다.

위상군 위에는 하르 측도라는 측도가 존재한다.

역사[편집]

1898년 저서[6]에서 에밀 보렐구간의 길이의 개념을 가산 가법성을 사용하여 실수선의 보렐 집합에 대하여 일반화하였다. 즉, 현대적인 용어로 보렐은 실수선의 보렐 집합르베그 측도를 정의하였다.

이후 1902년 박사 학위 논문[7]에서 앙리 르베그는 보렐의 이론을 간략화·일반화하였으며, 고차원 유클리드 공간르베그 측도를 정의하였고, 이를 통하여 함수의 적분 이론을 전개하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Tao, Terrence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Texts in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001. 
  2. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002. 
  3. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume 1》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. 
  4. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume 2》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. 
  5. Maharam, Dorothy (1942년 3월 15일). “On homogeneous measure algebras”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 28 (3): 108–111. ISSN 0027-8424. JSTOR 87851. PMC 1078424. PMID 16578030. 
  6. Borel, Émile (1898). 《Leçons sur la théorie des fonctions》 (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars et fils, imprimateurs-libraires. JFM 29.0336.01. 
  7. Lebesgue, Henri (1902년 6월). “Intégrale, longueur, aire”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata Serie 3》 (프랑스어) 7 (4): 231–359. JFM 33.0307.02. 

바깥 고리[편집]