측도

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측도론에서, 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 "크기"를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 직선에서의 길이, 평면에서의 넓이 · 3차원 공간에서의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다.

정의[편집]

유한 가법 측도[편집]

불 대수의 두 원소 에 대하여, 라면 두 원소가 서로소(영어: disjoint)라고 한다.

불 대수 위의 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 위의 유한 가법 측도(영어: finitely additive measure)라고 한다.

  • 임의의 서로소 유한 부분 집합 에 대하여,
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • (증가성) 만약 라면,
    • (모듈러성) 임의의 에 대하여,

가산 가법 측도[편집]

시그마 대수 위의 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 위의 가산 가법 측도(영어: countably additive measure) 또는 단순히 측도라고 한다.

  • 임의의 가산 부분 집합 에 대하여, 만약 그 원소들이 항상 서로소라면 (즉, 임의의 에 대하여 라면 ), 다음이 성립한다.
  • 다음 네 성질이 성립한다.
    • (증가성) 만약 라면,
    • (모듈러성) 임의의 에 대하여,
    • (가산 연속성) 속의 임의의 증가열 에 대하여,

여기서 는 음이 아닌 확장된 실수전순서 집합이며, 상한을 뜻하며, 은 시그마 대수의 최소 원소이다.

특히, 첫째 조건에서 인 경우, 이며 이므로, 항상 이다.

측도 공간[편집]

가측 공간 에서, 가측 집합들의 집합족 시그마 대수를 이룬다. 측도 공간(영어: measure space) 가측 공간 위의 측도 순서쌍이다.

성질[편집]

임의의 측도 공간 에서 다음 명제들이 성립한다.

  • (단조성) 부분 순서 집합 에서 음이 아닌 확장 실수선의 전순서 집합 으로 가는 함수 단조함수이다. 즉, 이며 라면 이다.
  • 만약 라면, 다음이 성립한다.

[편집]

  • 셈측도는 집합의 원소 갯수를 의미하는 측도이다.
  • 르베그 측도는 유클리드 공간의 길이, 넓이, 부피 의미를 측도의 정의에 맞도록 확장한 측도의 예이다.
  • 확률 측도는 전체집합의 측도가 1인 측도()이다. 확률 공간은 주어진 측도가 확률 측도인 측도 공간이다.
  • 디랙 측도(영어: Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 에 대해, 디랙 측도 가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

이외에도 하우스도르프 측도, 하르 측도, 보렐 측도, 조르당 측도 등이 존재한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]