집합족

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집합론과 관련 수학 분야에서, 집합족(集合族, 영어: family of sets)은 집합을 원소로 하는 집합이다.[1]

족(family)은 구지 구분하지않아도 되는 구성원들의 모임이다. 예를 들면 {a, a}은 두 구성원 a, a를 가지는 족이다. 반면, {a, a}를 집합으로 보면 원소로 a 하나 만을 가진다. [2]

집합 S의 모든 부분집합들의 집합은 S부분집합족(部分集合族, 영어: family of subsets)이라고 한다. 집합족이라는 용어는 집합의 집합이라는 용어를 가급적 피하기 위해 쓰인다. 예를 들어  \{\{2, 3\}\}, \{2\}, \{5, 6\}\} 는 집합족인데 구성원인 집합들로 \{2, 3\}, \{2\}, \{5, 6\}을 가진다. 다른 비슷한 예로  A =\{2, \{1, 3\}, 4, \{2, 5\}\} 를 보면 A는 집합족이 아닌데 여기서 A의 어떤 원소들은 집합이고 어떤 원소들은 집합이 아니다. [3]


일부 문맥에서는 집합족의 성분 중복이 허용된다(중복집합).[4][5][6] 또 일부 문맥에서 집합족은 집합이 아니라 고유모임일 수 있다.

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  • 집합 S멱집합 \mathcal{P}(S)S의 부분집합족이다. S의 (비중복)부분집합족은 모두 \mathcal{P}(S)의 부분집합이다.[7]
  • 집합 A의 분할은 A의 공집합이 아니며 서로소인 부분집합들의 족 \{A_i : i \in I \} 이다. [8]
  • Sk 원소 부분집합을 모은 S^{(k)}S의 부분집합족을 이룬다.
  • S=\{1,2,3,4,5\}라 하고 A_nS의 원소 중 n의 배수를 골라낸 집합이라고 할 때, F=\{A_1,A_2,A_3,A_4\}S의 부분집합족이다. 여기서 1, 2, 3, 4를 첨수라고 하고, F첨수된 집합족이라고 한다. 또한, B_1=\{1,2,3\}이고 B_2=B_3=\{4,5\}일 때 F'=\{B_1,B_2,B_3\}도 집합족이다.
  • 모든 순서수의 모임 \operatorname{Ord}은 매우 큰 집합족이다. 이는 집합이 아닌 고유모임을 이룬다.
  • 모든 집합의 모임인 전체모임 V는 집합족이다. 모든 (비중복)집합족은 V부분모임이다.
  • 슈페르너 족포함관계가 성립하지 않는 집합들로 이루어진 집합족이다. 슈페르너의 정리슈페르너 족의 크기의 상계를 제시한다.
  • 헬리 족은 교집합이 공집합인 극소부분족이 항상 일정 개 이하의 원소를 갖는 집합족이다. 헬리의 정리에 의하면, 유한 차원 유클리드 공간볼록 집합들은 헬리 족을 이룬다.
  • 홀 결혼 정리는 공집합이 아닌 집합들의 유한한 족(중복 허용)이 변별 대표원계를 가질 필요충분조건을 제시한다.

관련 개념[편집]

일부 수학 개념들은 일정 조건의 집합들을 모아놓은 것으로 생각할 수 있으므로 집합족과 동등한 의미를 가진다.

  • 하이퍼그래프정점들의 집합과 간선들의 집합으로 이루어진다. 하이퍼그래프의 간선들은 집합족을 이룬다. 또한 임의의 집합족은 그의 합집합을 정점 집합으로 하는 하이퍼그래프로 간주할 수 있다.
  • 추상적 단체의 복합체단체의 복합체(꼭짓점을 서로 맞댄 여러 개의 단체의 합집합) 개념을 조합론적으로 추상화한 것이다. 추상적 단체의 복합체에서는 각 단체를 간단히 그들의 꼭짓점들의 집합으로 표현한다. 비중복 집합족이 그의 임의의 원소의 임의의 부분집합을 원소로 가지면, 이는 추상적 단체의 복합체를 이룬다.
  • 결합구조는 점 집합, 선 집합, 그리고 점이 선에 속함을 나타내는 이항관계(결합관계)로 이루어져 있다. 모든 결합구조는 각 직선이 포함하는 점들의 집합으로 이루어진 집합족으로 표현될 수 있다. 반대로 모든 집합족은 결합구조로 표현될 수 있다. 중복을 허용한 집합족은, 서로 다른 직선이 같은 점들을 포함할 수 있는 결합구조에 대응한다.
  • 이항 블록 부호는 0과 1만으로 이루어진 같은 길이의 부호어들의 집합이다. 임의의 두 부호어 사이의 해밍 거리가 충분히 크면, 오류정정부호로 사용할 수 있다. 블록 부호는 각 부호어의 1이 쓰인 위치의 집합들이 이루는 집합족에 대응한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. J. N. Sharma (2014). 《Krishna's Topology》 (영어). Krishna Prakashan Media. 6쪽. Families of sets. If the elements of a set are sets themselves, then such a set is said to be 'family of sets' . The words 'collection' or 'class' are also used for a set of sets. 
  2. Emil G. Milewski. 《Set Theory Essentials》 (영어). 15쪽. A family is a collection of members which are not necessarily distinct. For example  \{a,a\} is a family with two members a, and a. On the other hand \{a, a\} considered as a set is \{a, a\} = \{a\}, the singleton set.  |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 85) (도움말)
  3. Seymour Lipschutz (1964). 《Schaum's Outline of Theory and Problems of Set Theory and Related Topics》 (eng). Mcgraw-Hill. 4쪽. It sometimes will happen that the objects of a set are sets themselves; for example, the set of all subsets of A. In order to avoid saying "set of sets", it is common practice to say "family of sets" or "class of sets"...중략...The \{\{2, 3\}\}, \{2\}, \{5, 6\}\} is a family of sets. Its members are the sets \{2, 3\}, \{2\} and \{5, 6\}...중략...Let  A =\{2, \{1, 3\}, 4, \{2, 5\}\}. Then A is not a family of sets; here some elements of A are sets and some are not.  |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 231) (도움말)
  4. Brualdi 2010, pg. 322
  5. Roberts & Tesman 2009, pg. 692
  6. Biggs 1985, pg. 89
  7. V. K . Balakrishnan. 《Introductory Discrete Mathematics》 (영어). 4쪽. A set of subsets is also known as a class or family of sets. The class of all subsets of a given set X is called the power set of X and is denoted by P(X). For example, if X=\{1, 2\}, the elements of P(X) are the empty set, the singleton set \{1\}, the singleton set \{2\}, and the set X. Thus P(X)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}  |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 173) (도움말)
  8. Charles C. Pinter. 《A Book of Abstract Algebra: Second Edition》 (영어). 120쪽. A partition of a set A is a family \{A_i : i \in I \} of nonempty subsets of A which are mutually disjoint and whose union is all of A.  |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 36) (도움말)

참고 문헌[편집]

  • Biggs, Norman L. (1985), 《Discrete Mathematics》 (영어), Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0 
  • Brualdi, Richard A. (2010), 《Introductory Combinatorics》 (영어) 5판, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2 
  • Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), 《Applied Combinatorics》 (영어) 2판, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9