집합족

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

집합론과 관련 수학 분야에서, 집합족(集合族, family of sets)은 집합을 원소로 하는 집합이다.[1]

예를 들어 은 집합족이며, 구성원인 집합들로 을 가진다. 은 집합족이 아니다, 가 집합이 아니기 때문이다. 순수집합론(예: ZFC)에서는 모든 대상이 집합이며, 이를테면 과 같다.[2] 이 경우 집합족을 일반 집합과 구분하는 것은 의미를 잃는다.

집합 의 일부 부분집합들은 항상 집합을 이루며, 이를 부분집합족(部分集合族, family of subsets)이라고 한다.[3] 많은 경우, 집합족을 어떤 집합의 부분집합족으로 생각하지 않는다.[4]

용어 "족"(family)은 문맥에 따라 다른 목적을 위해 사용된다.

  • 일부 문맥에서, 용어 "집합족"은 "집합의 집합"이라는 용어를 가급적 피하기 위해 쓰인다.[5]
  • 일부 문맥에서, "족"은 성분 중복을 허용한다. 이 경우, 구성원들은 서로 다를 필요가 없으며, 예를 들어 는 두 구성원 를 가지는 족을 나타낸다.[6] 마찬가지로 일부 문맥에서는 집합족의 성분 중복이 허용된다(중복집합).[7][8][9]
  • 일부 문맥에서, 집합족은 집합이 아니라 고유모임일 수도 있다.

[편집]

  • 집합 멱집합 의 부분집합족이다. 의 (비중복)부분집합족은 모두 의 부분집합이다.[10]
  • 집합 분할의 공집합이 아니고 합집합이 인 서로소 부분집합들의 족이다. [11]
  • 원소 부분집합을 모은 의 부분집합족을 이룬다.
  • 라 하고 의 원소 중 의 배수를 골라낸 집합이라고 할 때, 의 부분집합족이다. 여기서 1, 2, 3, 4를 첨수라고 하고, 첨수된 집합족이라고 한다. 또한, 이고 일 때 도 집합족이다.
  • 모든 순서수의 모임 은 매우 큰 집합족이다. 이는 집합이 아닌 고유모임을 이룬다.
  • 모든 집합의 모임인 전체모임 는 집합족이다. 모든 (비중복)집합족은 부분모임이다.
  • 슈페르너 족포함관계가 성립하지 않는 집합들로 이루어진 집합족이다. 슈페르너의 정리슈페르너 족의 크기의 상계를 제시한다.
  • 헬리 족은 교집합이 공집합인 극소부분족이 항상 일정 개 이하의 원소를 갖는 집합족이다. 헬리의 정리에 의하면, 유한 차원 유클리드 공간볼록 집합들은 헬리 족을 이룬다.
  • 홀 결혼 정리는 공집합이 아닌 집합들의 유한한 족(중복 허용)이 변별 대표원계를 가질 필요충분조건을 제시한다.

관련 개념[편집]

일부 수학 개념들은 일정 조건의 집합들을 모아놓은 것으로 생각할 수 있으므로 집합족과 동등한 의미를 가진다.

  • 하이퍼그래프정점들의 집합과 간선들의 집합으로 이루어진다. 하이퍼그래프의 간선들은 집합족을 이룬다. 또한 임의의 집합족은 그의 합집합을 정점 집합으로 하는 하이퍼그래프로 간주할 수 있다.
  • 추상적 단체의 복합체단체의 복합체(꼭짓점을 서로 맞댄 여러 개의 단체의 합집합) 개념을 조합론적으로 추상화한 것이다. 추상적 단체의 복합체에서는 각 단체를 간단히 그들의 꼭짓점들의 집합으로 표현한다. 비중복 집합족이 그의 임의의 원소의 임의의 부분집합을 원소로 가지면, 이는 추상적 단체의 복합체를 이룬다.
  • 결합구조는 점 집합, 선 집합, 그리고 점이 선에 속함을 나타내는 이항관계(결합관계)로 이루어져 있다. 모든 결합구조는 각 직선이 포함하는 점들의 집합으로 이루어진 집합족으로 표현될 수 있다. 반대로 모든 집합족은 결합구조로 표현될 수 있다. 중복을 허용한 집합족은, 서로 다른 직선이 같은 점들을 포함할 수 있는 결합구조에 대응한다.
  • 이항 블록 부호는 0과 1만으로 이루어진 같은 길이의 부호어들의 집합이다. 임의의 두 부호어 사이의 해밍 거리가 충분히 크면, 오류정정부호로 사용할 수 있다. 블록 부호는 각 부호어의 1이 쓰인 위치의 집합들이 이루는 집합족에 대응한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. J. N. Sharma (2014). 《Krishna's Topology》 (영어). Krishna Prakashan Media. 6쪽. Families of sets. If the elements of a set are sets themselves, then such a set is said to be 'family of sets' . The words 'collection' or 'class' are also used for a set of sets. 
  2. Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5. 
  3. 공리적으로, 부분집합족이 항상 집합인 이유는 집합 의 원소이기 때문이다.
  4. 그러나 실제로 임의의 집합족 의 부분집합족이다.
  5. Seymour Lipschutz (1964). 《Schaum's Outline of Theory and Problems of Set Theory and Related Topics》 (eng). Mcgraw-Hill. 4쪽. It sometimes will happen that the objects of a set are sets themselves; for example, the set of all subsets of . In order to avoid saying "set of sets", it is common practice to say "family of sets" or "class of sets" ... The is a family of sets. Its members are the sets , and ... Let . Then is not a family of sets; here some elements of are sets and some are not.  |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 112) (도움말)
  6. Emil G. Milewski. 《Set Theory Essentials》 (영어). 15쪽. A family is a collection of members which are not necessarily distinct. For example is a family with two members , and . On the other hand considered as a set is , the singleton set.  |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 85) (도움말)
  7. Brualdi 2010, pg. 322
  8. Roberts & Tesman 2009, pg. 692
  9. Biggs 1985, pg. 89
  10. V. K . Balakrishnan. 《Introductory Discrete Mathematics》 (영어). 4쪽. A set of subsets is also known as a class or family of sets. The class of all subsets of a given set is called the power set of X and is denoted by . For example, if , the elements of are the empty set, the singleton set , the singleton set , and the set . Thus   |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 102) (도움말)
  11. Charles C. Pinter. 《A Book of Abstract Algebra: Second Edition》 (영어). 120쪽. A partition of a set A is a family of nonempty subsets of which are mutually disjoint and whose union is all of .  |인용문=에 지움 문자가 있음(위치 36) (도움말)

참고 문헌[편집]

  • Biggs, Norman L. (1985), 《Discrete Mathematics》 (영어), Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0 
  • Brualdi, Richard A. (2010), 《Introductory Combinatorics》 (영어) 5판, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2 
  • Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), 《Applied Combinatorics》 (영어) 2판, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9