확장된 실수

수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

정의

확장된 실수의 집합 ${\bar {\mathbb {R} }}$는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \sqcup \{+\infty ,-\infty \}$

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.

$\arctan \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [-\pi /2,\pi /2]$

$\arctan(x)={\begin{cases}\pi /2&x=+\infty \\-\pi /2&x=-\infty \\\arctan(x)&x\in \mathbb {R} \end{cases}}$

이에 따라, ${\bar {\mathbb {R} }}$에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

또한, ${\bar {\mathbb {R} }}$는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 $a\in \mathbb {R}$에 대하여,

$-\infty <a<\infty$

가 된다. 이에 따라서 ${\bar {\mathbb {R} }}$는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.

산술 연산

확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다.

${\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\\|{\frac {a}{0}}|&=+\infty ,&a&\in {\bar {\mathbb {R} }}\end{aligned}}$

(덧셈의 역원) $-(\pm \infty )=\mp \infty$

($0\cdot (\pm \infty )=0$로 정의할 때, 곱셈의 역원) $(\pm \infty )^{-1}=0$

그러나 $0^{-1}$는 정의할 수 없다.

다음과 같은 연산들 역시 정의할 수 없다. 이를 부정형이라 한다.

$0\cdot (\pm \infty )=?$

$\infty -\infty =?$

${\pm \infty \over \pm \infty }=?$

다만 확률이나 측도론의 맥락에서, 종종 $0\cdot (\pm \infty )=0$으로 정의하여 확장한다.

확장된 실수는 $a\in {\bar {\mathbb {R} }}$에 대하여 ${a \over 0}$를 $+\infty$ 또는 $-\infty$으로 정의하지 않는다.

만약 ${1 \over 0}=\infty$이 참이라면, 연속함수 $f(x)\rightarrow 0$일 때 ${1 \over f(x)}$는 반드시 집합 $\{\infty ,-\infty \}$의 모든 근방에 포함되어야 한다.

그러나 ${1 \over f(x)}$는 $+\infty$또는 $-\infty$ 중 하나로 정해지지 않으므로 ${1 \over 0}=\infty$는 참이 아니다.

예를 들어, $f(x)=sin(1/x)$일 때, $\lim _{x\to 1/\pi }sin(1/x)=0$이지만 $\lim _{x\to 1/\pi }{1 \over sin(1/x)}$는 존재하지 않는다.

이는 $\lim _{x\to 1/\pi ^{+}}{1 \over sin(1/x)}=+\infty$이지만 $\lim _{x\to 1/\pi ^{-}}{1 \over sin(1/x)}=-\infty$이기 때문이다(절댓값 $|1/f(x)|$는 $+\infty$으로 정해진다).

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, ${\bar {\mathbb {R} }}$는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.

• ${\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{0\}$는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
  • 만약 $0\cdot \infty =0$으로 정의한다면, ${\bar {\mathbb {R} }}$는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
• ${\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{-\infty \}$와 ${\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{+\infty \}$는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
• 만약 $0\cdot \infty =0$으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 ${\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]$는 가환 반환을 이룬다.

지수 함수

다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

$\exp \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [0,\infty ]$

$\exp(-\infty )=0$

$\exp(+\infty )=+\infty$

이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\qquad \left(a,b\in {\bar {\mathbb {R} }},;(a,b)\not \in \left\{(-\infty ,+\infty ),(+\infty ,-\infty )\right\}\right)$

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수

$\log \colon [0,\infty ]\to {\bar {\mathbb {R} }}$

를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$\log(ab)=\log(a)+\log(b)\qquad \left(a,b\in [0,\infty ],;(a,b)\not \in \left\{(0,\infty ),(\infty ,0)\right\}\right)$

기타 함수

만약 어떤 실함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$가

$\lim _{x\to \infty }f(x)=a$

인 경우,

$f(\infty )=a$

로 정의한다.

외부 링크

• David W. Cantrell. “Affinely Extended Real Numbers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.