수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.
확장된 실수의 집합
는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.
![\arctan \colon {\bar {{\mathbb R}}}\to [-\pi /2,\pi /2]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f39522d1a658ce6e65ad74aa0f5998866b6703)

이에 따라,
에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.
또한,
는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든
에 대하여,

가 된다. 이에 따라서
는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.
산술 연산[편집]
확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\\|{\frac {a}{0}}|&=+\infty ,&a&\in {\bar {\mathbb {R} }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d6cc053586ea3c35e64d0fe0cd9cc7d66e6dbc)
- (덧셈의 역원)

- (
로 정의할 때, 곱셈의 역원) 
그러나
는 정의할 수 없다.
다음과 같은 연산들 역시 정의할 수 없다. 이를 부정형이라 한다.



다만 확률이나 측도론의 맥락에서, 종종
으로 정의하여 확장한다.
확장된 실수는
에 대하여
를
또는
으로 정의하지 않는다.
- 만약
이 참이라면, 연속함수
일 때
는 반드시 집합
의 모든 근방에 포함되어야 한다.
- 그러나
는
또는
중 하나로 정해지지 않으므로
는 참이 아니다.
- 예를 들어,
일 때,
이지만
는 존재하지 않는다.
- 이는
이지만
이기 때문이다(절댓값
는
으로 정해진다).
덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에,
는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.
는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약
으로 정의한다면,
는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
와
는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약
으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수
는 가환 반환을 이룬다.
지수 함수[편집]
다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \exp \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75124ef9dde30d364964764063f5639aa0e774e)


이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수
![{\displaystyle \log \colon [0,\infty ]\to {\bar {\mathbb {R} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d02d0775ed61f5cbfe4311c4eef9a2868489a48)
를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
![{\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)\qquad \left(a,b\in [0,\infty ],;(a,b)\not \in \left\{(0,\infty ),(\infty ,0)\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd9aff700e68198a64b39d5d8d2b207dc55b7f)
기타 함수[편집]
만약 어떤 실함수
가

인 경우,

로 정의한다.
외부 링크[편집]