확장된 실수

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수학에서, 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

정의[편집]

확장된 실수의 집합 는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.

이에 따라, 에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

또한, 는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 에 대하여,

가 된다. 이에 따라서 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한하한을 갖는다.

산술 연산[편집]

확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든 , 에 대하여,

(덧셈)
(덧셈의 역원)
(곱셈)
(곱셈의 역원)

그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다.

다만, 측도론에서는 보통 으로 정의하여 사용한다.

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, 이나 , 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.

  • 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
    • 만약 으로 정의한다면, 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
  • 는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
  • 만약 으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 는 가환 반환을 이룬다.

지수 함수[편집]

다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수

를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

기타 함수[편집]

만약 어떤 실함수

인 경우,

로 정의한다.

바깥 고리[편집]