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수학에서, 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.
확장된 실수의 집합
는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.
![\arctan \colon {\bar {{\mathbb R}}}\to [-\pi /2,\pi /2]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f39522d1a658ce6e65ad74aa0f5998866b6703)

이에 따라,
에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.
또한,
는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든
에 대하여,

가 된다. 이에 따라서
는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.
산술 연산[편집]
확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든
,
에 대하여,
- (덧셈)

- (덧셈의 역원)

- (곱셈)

- (곱셈의 역원)

그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다.



이때 편집자가 생각한것은
이라고 생각한다.
풀이:
또는
(분수×그 분수의 역수=1)
하지만, 측도론에서는 보통
으로 정의하여 사용한다.
덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에,
는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.
는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약
으로 정의한다면,
는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
와
는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약
으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수
는 가환 반환을 이룬다.
지수 함수[편집]
다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \exp \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75124ef9dde30d364964764063f5639aa0e774e)


이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수
![{\displaystyle \log \colon [0,\infty ]\to {\bar {\mathbb {R} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d02d0775ed61f5cbfe4311c4eef9a2868489a48)
를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
![{\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)\qquad \left(a,b\in [0,\infty ],;(a,b)\not \in \left\{(0,\infty ),(\infty ,0)\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd9aff700e68198a64b39d5d8d2b207dc55b7f)
기타 함수[편집]
만약 어떤 실함수
가

인 경우,

로 정의한다.
외부 링크[편집]