확장된 실수

수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

정의

확장된 실수의 집합 ${\bar {\mathbb {R} }}$는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \sqcup \{+\infty ,-\infty \}$

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.

$\arctan \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [-\pi /2,\pi /2]$

$\arctan(x)={\begin{cases}\pi /2&x=+\infty \\-\pi /2&x=-\infty \\\arctan(x)&x\in \mathbb {R} \end{cases}}$

이에 따라, ${\bar {\mathbb {R} }}$에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

또한, ${\bar {\mathbb {R} }}$는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 $a\in \mathbb {R}$에 대하여,

$-\infty <a<\infty$

가 된다. 이에 따라서 ${\bar {\mathbb {R} }}$는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.

산술 연산

확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든 $a^{+}\in \mathbb {R} ^{+}$, $a^{-}\in \mathbb {R} ^{-}$에 대하여,

(덧셈) $a^{+}\pm \infty =a^{-}\pm \infty =0\pm \infty =\pm \infty \pm \infty =\pm \infty$

(덧셈의 역원) $-(\pm \infty )=\mp \infty$

(곱셈) $a^{+}\cdot (\pm \infty )=a^{-}\cdot (\mp \infty )=\pm \infty \cdot \infty =\mp \infty \cdot (-\infty )=\pm \infty$

(곱셈의 역원) $(\pm \infty )^{-1}=0$

그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다 (즉, 어떻게 정의하더라도 덧셈과 곱셈이 좋은 성질을 갖지 못한다).

$0\cdot \infty =?$

$\infty -\infty =?$

$0^{-1}=?$

다만, 측도론에서는 보통 $0\cdot \infty =0$으로 정의하여 사용한다.

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, ${\bar {\mathbb {R} }}$는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.

• ${\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{0\}$는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
  • 만약 $0\cdot \infty =0$으로 정의한다면, ${\bar {\mathbb {R} }}$는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
• ${\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{-\infty \}$와 ${\bar {\mathbb {R} }}\setminus \{+\infty \}$는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
• 만약 $0\cdot \infty =0$으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 ${\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]$는 가환 반환을 이룬다.

지수 함수

다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

$\exp \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [0,\infty ]$

$\exp(-\infty )=0$

$\exp(+\infty )=+\infty$

이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\qquad \left(a,b\in {\bar {\mathbb {R} }},;(a,b)\not \in \left\{(-\infty ,+\infty ),(+\infty ,-\infty )\right\}\right)$

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수

$\log \colon [0,\infty ]\to {\bar {\mathbb {R} }}$

를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$\log(ab)=\log(a)+\log(b)\qquad \left(a,b\in [0,\infty ],;(a,b)\not \in \left\{(0,\infty ),(\infty ,0)\right\}\right)$

기타 함수

만약 어떤 실함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$가

$\lim _{x\to \infty }f(x)=a$

인 경우,

$f(\infty )=a$

로 정의한다.

외부 링크

• David W. Cantrell. “Affinely Extended Real Numbers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.