지수 함수

지수 함수 $y=\exp x$의 그래프

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

정의

거듭제곱을 통한 정의

지수 함수는 거듭제곱을 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 거듭제곱 $a^{b}$를 다음과 같이 정의하자.

• $b$가 음이 아닌 정수일 때,

  $a^{b}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b}$

• $b$가 음의 정수일 때,

  $a^{b}={\frac {1}{a^{-b}}}$

• $b=m/n$가 유리수이며, $m$과 $n$이 서로소이며, $a>0$일 때,

  $a^{b}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

• $b$가 실수이며, $a>0$일 때,

  $a^{b}=\sup _{{\scriptstyle c\in \mathbb {Q} } \atop {\scriptstyle c<b}}a^{c}$

이제 지수 함수를 정의하자. 1이 아닌 양의 실수

$a>0$

$a\neq 1$

를 밑으로 하는 지수 함수 $f_{a}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$는 다음과 같다.

$f_{a}(x)=a^{x}\qquad (x\in \mathbb {R} )$

여기서 우변은 밑이 $a$, 지수가 $x$인 거듭제곱이다. 즉, 지수 함수는 밑이 고정된 채 변화하는 지수에 대한 거듭제곱을 구하는 함수이다.

함수

$\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$

는 자연로그의 밑

$\mathrm {e} =2.71828\cdots$

을 밑으로 하는 지수 함수

$\exp x=\mathrm {e} ^{x}$

를 나타낸다. 지수 함수는 흔히 이 특수한 지수 함수만을 일컫는다. 또한, 이를 사용하여 일반적인 밑의 지수 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a^{x}={\mathrm {e} }^{x\ln a}$

여기서 $\ln$은 자연로그이다. 물론, 다른 특수한 밑부터 시작하여 일반적인 지수 함수에 이를 수도 있다. 하지만 다른 밑에 대한 지수 함수의 직접적인 정의는 상대적으로 더 복잡하다.

극한을 통한 정의

지수 함수 $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$는 다음과 같다.

$\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

우변은 수열의 극한이다. 수열

$\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

은 유계 수열이며, $x>0$인 경우 순증가, $x<0$인 경우 순감소한다. 이는 보통 이항 정리를 사용하여 증명하며, 산술-기하 부등식을 통한 증명도 존재한다. 단조 수렴 정리에 따라, 이 수열은 수렴한다.

일반적인 밑

$a>0$

$a\neq 1$

에 대한 지수 함수는 다음과 같다.

$a^{x}=\exp(x\ln a)$

특히,

$\mathrm {e} ^{x}=\exp(x\ln \mathrm {e} )=\exp x$

이다.

멱급수를 통한 정의

지수 함수 $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$는 다음과 같다.

${\begin{aligned}\exp x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \end{aligned}}$

우변은 지수 함수의 테일러 급수이다. 이 급수가 모든 $x$에 대하여 수렴함은 이를테면 비 판정법 또는 코시-아다마르 정리를 사용하여 보일 수 있다. 다른 정의를 사용하는 경우, 우변의 멱급수가 테일러 급수임은 이를테면 라그랑주 나머지 항에 대한 테일러 정리를 사용하여 보일 수 있다.

일반적인 밑

$a>0$

$a\neq 1$

에 대한 지수 함수는 다음과 같다.

$a^{x}=\exp(x\ln a)$

특히,

$\mathrm {e} ^{x}=\exp(x\ln \mathrm {e} )=\exp x$

이다.

로그 함수의 역함수로서의 정의

로그 함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수 함수를 로그 함수의 역함수로 정의할 수 있다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

$\ln x=\int _{1}^{x}{1 \over t}\,dt$

이때 $y=\ln x$는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 $y=\exp(x)$라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

${dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y$

즉, ${d \over dx}\exp(x)=\exp(x)$이다. 또한, $\ln 1=0$ 이므로, $\exp(0)=1$이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

$\exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)$

$\exp(a)=p,\exp(b)=q$로 놓으면

$a=\ln p,b=\ln q$이므로 로그의 성질에 의하여 $a+b=\ln p+\ln q=\ln pq$

따라서 $\exp(a+b)=pq=\exp(a)\cdot \exp(b)$가 성립한다.

로그함수 $y=\ln x$는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 $\ln x=1$를 만족하는 해 $x$가 존재하며, 단사함수이므로 실수 $x$는 단 한개만 존재한다. 방정식 $\ln x=1$의 해를 $x=e$라 하자.

$\therefore \ln e=1,\exp(1)=e$

이제 $\exp(x)=e^{x}$로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 $x$가 자연수일 때 $\exp(x)=\underbrace {e\times e\times e\times \cdots e} _{x}$임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 $a^{x}=e^{x\ln a}$ $(a>0)$로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 $x$에 대하여 $a^{x}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{x}$임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.

1에 대하여 성립

$a^{1}=e^{\ln a}=a$

$n$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1$에 대하여 성립

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}$

양변에 a를 곱하면

$a^{n}\cdot a=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}$

위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.

$a^{n}\cdot a=a^{n}\cdot a^{1}=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}$

$\therefore a^{n+1}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}$

따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 $x$에 대하여 $e^{x\ln a}$로 정의된 $a^{x}$는 a를 x번 곱한 것과 같다.

성질

지수 함수의 정의역은 실수 전체이다. 지수 함수의 치역은 양의 실수의 집합 $\mathbb {R} ^{+}$이다.

단조성

지수 함수는 단조함수이다. 만약 $a>1$이라면, 지수 함수 $f(x)=a^{x}$는 증가함수이다. 만약 $0<a<1$이라면, 지수 함수 $f(x)=a^{x}$는 감소함수이다.

극한

$a>1$일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.

$\lim _{x\to \infty }a^{x}=\infty$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

$0<a<1$일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.

$\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=\infty$

따라서, 지수 함수는 $x$축을 점근선으로 갖는다.

지수 함수의 유한한 점에서의 극한은 함수의 값과 같다. 즉, 지수 함수는 연속 함수이다.

$\lim _{x\to x_{0}}a^{x}=a^{x_{0}}$

미분

밑이 자연로그의 밑인 지수 함수 $\mathrm {e} ^{x}$의 도함수는 스스로와 같다.

${\frac {d}{dx}}\mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{x}$

$a^{x}=\mathrm {e} ^{x\ln a}$이므로, 일반적인 지수 함수의 도함수는

${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln a$

가 된다.

연쇄 법칙을 통한 유도:

연쇄 법칙에 따라,

${\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}\mathrm {e} ^{x\ln a}={\frac {d\mathrm {e} ^{x\ln a}}{dx\ln a}}{\frac {dx\ln a}{dx}}=\mathrm {e} ^{x\ln a}\ln a=a^{x}\ln a$

음함수 미분을 통한 유도:

$y=a^{x}$ 양변에 로그를 취하면 다음을 얻는다.

$\ln y=x\ln a$

양변을 $x$에 대하여 미분하면 다음을 얻는다.

${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a$

정리하면 다음과 같다.

${\frac {dy}{dx}}=y\ln a=a^{x}\ln a$

지수 함수 $y=\mathrm {e} ^{x}$는 미분 방정식

$dy/dx=y$

$y(0)=1$

의 유일한 해이다. 이는 지수 함수의 정의로 삼을 수 있다.

체론적 성질

다음과 같은 유리수 계수 다항식을 생각하자.

${\begin{aligned}f_{n}(x)&=\sum _{i=0}^{n}x^{i}/i!\\&=((\exp x)/\Gamma (n+1))\int _{x}^{\infty }t^{n}\exp(-t)\,dt\\&\in \mathbb {Q} [x]\end{aligned}}$

즉, 이는 지수 함수 $\exp$의 테일러 급수의 부분합이다. 이 다항식은 유리수 계수 다항식이며, $n\neq 0$인 경우 기약 다항식이다. 또한, 이 다항식의 분해체의 갈루아 군은 다음과 같다.

$\operatorname {Gal} (f_{n})\cong {\begin{cases}\operatorname {Sym} (n)&4\nmid n\\\operatorname {Alt} (n)&4\mid n\end{cases}}$

같이 보기

• 자연로그의 밑
• 행렬 지수 함수
• 지수열

외부 링크

• “Complex exponential function” (영어). 《PlanetMath》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential Function” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.