중간값 정리

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중간값 정리

해석학에서, 중간값 정리(中間-定理, 영어: intermediate value theorem) 또는 사이값 정리닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수가 두 사이의 점을 상으로 갖는다는 정리이다.

중간값 정리[편집]

닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수 및 구간의 양 끝점의 사이의 실수

또는

가 주어졌다고 하자. 중간값 정리에 따르면, 이게 되는 가 존재한다.

달리 말해, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수 에 대하여,

이며,

이다.

볼차노 정리[편집]

볼차노 정리(영어: Bolzano's theorem)는 중간값 정리의 특별한 경우이다. 즉, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수 에 대하여, 만약

이라면, 이게 되는 이 존재한다.

따름정리[편집]

중간값 정리의 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.

닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수 치역은 정확히 최댓값최솟값을 끝점으로 하는 닫힌구간이다. 즉,

구간에 정의된 실숫값 연속 함수 의 치역 는 항상 구간이다.

일반화[편집]

중간값 정리는 여러 방향으로 일반화할 수 있다. 구간은 연결 공간으로, 닫힌구간은 콤팩트 연결 공간으로, 실수 집합은 순서 위상을 부여한 전순서 집합으로, 연속 함수는 더 넓은 개념의 함수로 일반화된다.

  • 위상 공간 사이의 연속 함수 에 대하여, 만약 가 연결 공간이라면, 역시 연결 공간이다.
  • 위상 공간 와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 사이의 연속 함수 에 대하여, 만약 가 연결 공간이라면, 임의의 에 대하여 이다.
  • 위상 공간 와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 사이의 연속 함수 에 대하여, 만약 콤팩트 연결 공간이라면, 이다.
  • (다르부의 정리) 닫힌구간에 정의된 실숫값 미분 가능 함수 에 대하여, 이다.

실수 집합에 대하여, 연결 공간은 구간, 콤팩트 연결 공간은 닫힌구간과 동치이다. 따라서 실수에 대한 중간값 정리와 그 따름정리들은 위 정리들의 특별한 경우이다. 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수는 모두 어떤 함수의 도함수이다. 따라서 중간값 정리는 다르부의 정리의 특별한 경우이다.

관련된 정리들[편집]

참고 문헌[편집]