중간값 정리

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중간값 정리

해석학에서, 중간값 정리(中間-定理, 영어: intermediate value theorem) 또는 사잇값 정리실숫값 연속 함수에 대한 두 함숫값 사이의 수가 여전히 함숫값이라는 정리이다. 이에 따라, 구간에 정의된 실숫값 연속 함수치역구간이다.

정의[편집]

중간값 정리에 따르면, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수

치역은 다음을 만족시킨다.

즉, 구간 양 끝점의 사이의 임의의 수

또는

에 대하여,

가 존재한다.

증명[편집]

편의상 라 가정하자. 임의의 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

그렇다면, 이므로 공집합이 아니며, 상계 를 가지므로 위로 유계 집합이다. 상한 공리에 따라 실수 상한

가 존재한다. 연속 함수의 정의에 따라 다음 둘을 만족시키는 이 존재한다.

따라서

이다. 이제 귀류법을 사용하여 를 보이자. 먼저 라 가정하자. 그렇다면, 연속 함수의 정의에 따라 다음을 만족시키는 이 존재한다.

즉,

즉, 상한보다 작은 상계 가 존재하며, 이는 모순이다. 이제 를 가정하자. 그렇다면, 연속 함수의 정의에 따라 다음을 만족시키는 이 존재한다.

즉,

즉, 상한보다 큰 원소 가 존재하며, 이는 모순이다. 따라서 이다.

관련 정리[편집]

볼차노 정리[편집]

볼차노 정리(영어: Bolzano's theorem)는 중간값 정리의 특별한 경우이다. 즉, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수

을 만족시키면,

가 존재한다.

따름 정리[편집]

구간에 정의된 실숫값 연속 함수

치역 은 구간이다. 특히, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수

의 치역 은 끝점이 최솟값최댓값인 닫힌구간이다. 즉,

일반화[편집]

중간값 정리는 여러 방향으로 일반화할 수 있다. 구간은 연결 공간으로, 닫힌구간은 콤팩트 연결 공간으로, 실수 집합은 순서 위상을 부여한 전순서 집합으로, 연속 함수는 더 넓은 개념의 함수로 일반화된다.

  • 위상 공간 사이의 연속 함수 에 대하여, 만약 가 연결 공간이라면, 역시 연결 공간이다.
  • 위상 공간 와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 사이의 연속 함수 에 대하여, 만약 가 연결 공간이라면, 임의의 에 대하여 이다.
  • 위상 공간 와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 사이의 연속 함수 에 대하여, 만약 콤팩트 연결 공간이라면, 이다.
  • (다르부의 정리) 닫힌구간에 정의된 실숫값 미분 가능 함수 에 대하여, 이다. 실수 집합에 대하여, 연결 공간은 구간, 콤팩트 연결 공간은 닫힌구간과 동치이다. 따라서 실수에 대한 중간값 정리와 그 따름정리들은 위 정리들의 특별한 경우이다. 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수는 모두 어떤 함수의 도함수이다. 따라서 중간값 정리는 다르부의 정리의 특별한 경우이다.

기타[편집]

  • 일대일 대응인 연속 함수 f : S → R, 조밀 집합인 S ⊂ Rn가 있다 하자. 이때, 역함수 f-1 : f(S) → S 는 연속함수 이다.

응용[편집]

볼차노의 정리를 사용하여 대수학의 기본 정리의 자명한 경우를 증명할 수 있다. 즉, 임의의 홀수 차 실계수 다항 방정식은 적어도 하나의 실근을 가진다.

증명:

홀수 차 실계수 다항 함수

에 대하여, 다음과 같은 극한이 성립한다.

이에 따라, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

볼차노의 정리를 에 적용하면, 다음을 만족시키는 가 존재함을 알 수 있다.

볼차노의 정리를 사용하여 바나흐 고정점 정리의 자명한 경우를 증명할 수 있다. 즉, 닫힌구간 위의 연속 함수 는 항상 고정점, 즉 인 점 를 가진다.

증명:

다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면,

이므로, 볼차노의 정리에 따라 다음을 만족시키는 가 존재한다.

중간값 정리를 사용하여 다음과 같은 명제를 증명할 수 있다. 구간에 정의된 실숫값 가역 연속 함수는 항상 순단조 함수이다.

증명:

구간 에 정의된 실숫값 가역 연속 함수

가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

  • 이거나,

두 경우의 증명이 비슷하므로 첫 번째 경우만 증명하자. 다음과 같은 를 취하자.

그렇다면, 에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 가 존재함을 알 수 있다.

이는 가 가역 함수인 것과 모순이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]