매듭 이론

세잎매듭의 한 모습. 가닥이 교차하는 곳에서는 어느 쪽이 위로 지나가는지 구별하여 그린다.

매듭 이론(매듭理論, 영어: knot theory)은 3차원 공간에 놓인 매듭을 연구하는 위상수학의 한 분야이다. 수학에서 매듭은 자기 자신과 만나지 않는 닫힌 곡선으로, 줄의 양 끝을 이어 붙인 고리로 생각할 수 있다. 줄을 자르거나 다른 가닥을 통과시키지 않고 연속적으로 변형하여 서로 겹칠 수 있는 두 매듭은 동치라고 한다. 주요 연구 과제는 매듭의 동치 판정과 분류이다.

매듭을 구별하는 데에는 동치변형에도 보존되는 성질인 불변량을 이용한다. 매듭에 군이나 다항식과 같은 대수적 대상을 대응시켜 비교하는 방법이 있으며, 매듭군과 존스 다항식이 대표적인 예이다. 이러한 불변량이 다르면 두 매듭이 동치가 아님을 알 수 있다.

주변 공간에서 매듭을 제거하고 남은 공간의 위상과 기하도 연구한다. 이 공간의 구조를 통해 매듭의 성질을 밝히는 연구는 저차원 위상수학, 특히 3차원 다양체의 연구와 밀접하게 연결된다.

매듭 이론은 생물학과 물리학에도 응용된다. 원형 DNA가 이루는 매듭과 연환의 변화는 DNA를 절단하고 다시 연결하는 효소의 작용을 연구하는 단서가 된다. 양자장론에서는 특정한 장 이론의 관측량으로 존스 다항식과 같은 매듭 불변량을 해석할 수 있다.

정의와 기본 개념

 이 부분의 본문은 매듭 (수학) 및 연환입니다.

매듭은 원 $S^{1}$을 3차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{3}$에 매장한 것이다. 그 상도 매듭이라고 하며, $K$로 나타낸다. 유클리드 공간에 무한원점 하나를 더한 3차원 초구 $S^{3}$를 주변 공간으로 삼기도 한다. 일반적인 연속 매장을 모두 허용하면 한 점 근처에 무한한 얽힘이 모이는 야생 매듭(영어: wild knot)도 나타난다. 이하에서는 매끄러운 매듭이나 유한 개의 선분으로 이루어진 매듭을 다룬다.

두 매듭 $K_{0},K_{1}\subset \mathbb {R} ^{3}$가 동치라는 것은 주변 공간 전체를 연속적으로 변형하여 하나를 다른 하나로 옮길 수 있다는 뜻이다. 정확히는 연속사상 $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$가 존재하여, 각 $H_{t}(x)=H(x,t)$가 위상동형사상이고 다음 조건을 만족해야 한다. $$H_{0}=\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{3}},\qquad H_{1}(K_{0})=K_{1}.$$ 이러한 변형을 주변 이소토피(영어: ambient isotopy)라고 한다. 매듭은 모두 원과 위상동형이지만, 주변 공간에 놓인 방식에 따라 서로 다른 매듭이 된다.

유한 개의 원을 서로 만나지 않게 매장한 것을 연환이라고 하며, 각각의 원을 연환의 성분이라고 한다. 매듭은 성분이 하나인 연환이다. 각 성분에 진행 방향을 정하면 유향 연환이 된다. 유향 연환의 동치변형에서는 각 성분의 방향도 보존해야 한다.

매듭의 거울상은 공간을 반사하여 얻는다. 이는 매듭을 따라가는 방향만 뒤집는 것과 다르다. 거울상과 동치가 아닌 매듭은 카이랄하다고 한다. 매듭을 분류할 때 거울상을 따로 세기도 하고, 거울상 쌍을 하나로 세기도 하므로 어떤 관례를 따르는지 구별해야 한다.

매듭 그림과 라이데마이스터 변형

 이 부분의 본문은 라이데마이스터 변형입니다.

매듭을 평면에 투영하고, 교차점마다 어느 가닥이 위로 지나가는지 표시한 것을 매듭 그림이라고 한다. 투영 방향은 두 가닥이 서로 가로지르는 교차점만 유한 개 나타나도록 고른다. 가닥들이 서로 접하거나 세 가닥 이상이 한 점에서 만나는 경우는 피한다. 아래로 지나는 가닥은 교차점 부근을 조금 끊어 그린다. 이 교차점은 평면에 투영한 그림에 생기는 것이며, 공간 안의 매듭 자체에는 교차점이 없다.

세 가지 라이데마이스터 변형. 그림의 작은 영역만 바꾸며, 공간 안의 매듭 종류는 변하지 않는다.

라이데마이스터 변형은 매듭 그림의 작은 영역에 가하는 다음 세 가지 변형이다.

• 제1형: 가닥 하나에 작은 고리를 만들거나 없애 교차점 하나를 늘리거나 줄인다.
• 제2형: 두 가닥 중 한 가닥이 다른 가닥 위로 지나가게 하여 교차점 두 개를 만들거나, 반대 과정으로 두 교차점을 없앤다.
• 제3형: 한 가닥을 다른 두 가닥의 교차점 너머로 옮긴다.

라이데마이스터 정리에 따르면, 두 그림이 같은 매듭을 나타낼 필요충분조건은 평면에서의 변형과 유한 번의 라이데마이스터 변형으로 서로 옮길 수 있다는 것이다. 여기서 평면에서의 변형은 교차 관계를 유지한다. 따라서 이러한 변형에도 계산 결과가 달라지지 않는다면, 같은 매듭의 어떤 그림을 사용하더라도 같은 결과를 얻는다.

매듭 불변량

매듭마다 수나 대수적 대상을 대응시키되, 동치인 매듭에서 그 결과가 같도록 한 것을 불변량이라고 한다. 군과 같은 대수적 대상은 동형인 것을 같은 결과로 본다. 불변량이 다르면 두 매듭은 동치가 아니다. 불변량이 같다고 해서 두 매듭이 동치인 것은 아니다.

교차수와 풀림수

라이데마이스터 변형으로 그림의 교차점 수를 바꿀 수 있으므로, 한 그림의 교차점 수 자체는 매듭의 불변량이 아니다. 대신 매듭 $K$를 나타내는 모든 그림에서 교차점 수의 최솟값을 택하면 불변량을 얻는다. 이를 교차수 $c(K)$라고 한다. 평면의 원으로 나타낼 수 있는 풀린매듭의 교차수는 0이고, 세잎매듭의 교차수는 3이다.

교차점에서 위아래 가닥을 맞바꾸는 교차 교환은 매듭의 종류를 바꿀 수 있다. 풀림수(영어: unknotting number) $u(K)$는 매듭을 풀린매듭으로 바꾸는 데 필요한 교차 교환 횟수의 최솟값이다. 이때도 하나의 그림을 고정하지 않고 모든 그림을 고려한다. 교환 횟수가 최소가 되는 그림이 교차점 수가 가장 적은 그림일 필요는 없다.

색칠과 연환수

매듭 그림에서 아래로 지나는 가닥의 끊어진 부분을 경계로 곡선을 여러 호로 나눈다. 각 호에 세 가지 색 중 하나를 칠하되, 교차점에 모인 세 호가 모두 같은 색이거나 모두 다른 색이 되도록 한다. 이 규칙을 만족하는 색칠의 수는 라이데마이스터 변형에도 변하지 않는다. 풀린매듭에는 단색인 세 가지 색칠만 있지만, 세잎매듭에는 아홉 가지가 있다. 따라서 두 매듭은 동치가 아니다.

성분이 여러 개인 연환에서는 서로 다른 성분이 어떻게 얽혀 있는지도 살핀다. 방향을 정한 두 성분의 연환수는 두 성분 사이의 교차점에 붙인 부호를 모두 더한 뒤 2로 나눈 정수이다. 한 성분이 자기 자신과 교차하는 점은 제외한다. 연환수는 두 성분이 서로 감긴 정도를 나타내며, 한 성분의 방향을 뒤집으면 부호가 바뀐다.

보로메오 고리. 세 성분 전체는 얽혀 있지만 어느 한 성분을 제거하면 나머지 두 성분은 분리된다.

모든 성분 쌍의 연환수가 0이어도 연환 전체가 풀려 있는 것은 아니다. 보로메오 고리는 어느 두 성분만 남겨도 서로 분리되므로 모든 쌍의 연환수가 0이다. 그러나 세 성분 전체를 서로 떨어진 세 원으로 변형할 수는 없다.

매듭군

 이 부분의 본문은 매듭군입니다.

매듭군은 3차원 초구에서 매듭을 제거한 공간의 기본군으로, 다음과 같이 나타낸다. $$G(K)=\pi _{1}(S^{3}\setminus K).$$ 매듭을 피하는 닫힌 경로의 변형과 이어 붙이기를 대수적으로 나타낸 것이다. 매듭 그림에서도 이 군을 계산할 수 있다. 아래로 지나는 교차점마다 나뉘는 각 호를 생성원으로 삼고, 교차 관계를 관계식으로 옮기는 방법을 비르팅거 표시(영어: Wirtinger presentation)라고 한다.

풀린매듭의 매듭군은 정수의 덧셈군 $\mathbb {Z}$와 동형이다. 세잎매듭의 매듭군은 두 생성원 $a,b$와 관계식 $a^{2}=b^{3}$를 사용한 군의 표시 $$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}\rangle$$ 로 주어진다. 이 군은 비가환군이므로 $\mathbb {Z}$와 동형이 아니다. 따라서 세잎매듭은 풀린매듭과 동치가 아니다. 다만 매듭군이 동형인 서로 다른 매듭도 있다.

자이페르트 곡면과 종수

 이 부분의 본문은 자이페르트 곡면입니다.

매듭을 곡면의 테두리로 생각할 수도 있다. 방향을 정한 매듭을 경계로 갖는, 연결되고 콤팩트한 방향 가능 곡면을 자이페르트 곡면이라고 한다. 곡면은 3차원 공간 안에 매장되며, 경계 방향은 매듭의 방향과 일치해야 한다. 모든 매듭에는 이러한 곡면이 존재한다. 매듭 그림의 각 교차점에서 가닥들이 교차하지 않도록 방향에 맞게 다시 이으면 여러 원이 생긴다. 이 원들에 원판을 채우고 원래 교차점이 있던 곳에 반 바퀴 꼬인 띠를 붙이면 자이페르트 곡면을 얻는다.

매듭의 종수 $g(K)$는 그 매듭의 자이페르트 곡면들 가운데 종수의 최솟값이다. 즉, 그 매듭을 경계로 하는 방향 가능 곡면에 필요한 손잡이 수의 최솟값이다. 종수가 0인 매듭은 매장된 원판의 경계이므로 풀린매듭이며, 그 역도 성립한다. 세잎매듭의 종수는 1이다.

매듭 다항식

 이 부분의 본문은 홈플리 다항식입니다.

알렉산더 다항식은 자이페르트 곡면을 이용하여 계산할 수 있다. 먼저 곡면의 정수 계수 1차 호몰로지의 기저를 대표하는 곡선들을 택하고, 각각을 곡면의 한쪽 법선 방향으로 조금 밀어 낸다. 원래 곡선들과 밀어 낸 곡선들 사이의 연환수를 원소로 하는 행렬을 $V$라 하면, 알렉산더 다항식은 다음 식으로 주어진다. $$\Delta _{K}(t)=\det(V-tV^{\mathsf {T}}).$$ 곡면과 기저에 따라 계산 결과는 달라질 수 있지만, $\pm t^{n}$을 곱하는 차이를 제외하면 같은 다항식을 얻는다. 풀린매듭의 알렉산더 다항식은 1이다. 그러나 값이 1인 다른 매듭도 있으므로, 이 다항식만으로 풀린매듭을 판정할 수는 없다.

존스 다항식은 매듭 그림의 교차점을 바꾸면서 계산할 수 있다. 방향을 정한 세 연환 $L_{+},L_{-},L_{0}$의 그림이 한 교차점의 주변을 제외하면 모두 같다고 하자. 그 주변에서 $L_{+}$와 $L_{-}$는 각각 양의 교차와 음의 교차를 가지며, $L_{0}$는 가닥들이 교차하지 않도록 방향에 맞게 다시 이은 것이다. 풀린매듭의 다항식을 1로 정하면, 다음 관계로 다른 연환의 다항식을 계산할 수 있다. $$t^{-1}V_{L_{+}}(t)-tV_{L_{-}}(t)=(t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_{0}}(t).$$ 이처럼 교차점 부근의 모양이 다른 연환의 다항식 사이에 성립하는 식을 스케인 관계(영어: skein relation)라고 한다. 존스 다항식에는 음의 지수가 허용되며, 성분이 여럿인 연환에서는 반정수 지수도 나타난다.

서로 거울상인 두 세잎매듭의 존스 다항식은 다음과 같다. $$t+t^{3}-t^{4},\qquad t^{-1}+t^{-3}-t^{-4}.$$ 일반적으로 거울상을 취하면 다항식의 $t$가 $t^{-1}$로 바뀐다. 위의 두 다항식이 다르므로 세잎매듭과 그 거울상은 동치가 아니다. 풀린매듭의 존스 다항식은 1이지만, 존스 다항식이 1인 매듭이 반드시 풀린매듭인지는 알려져 있지 않다.

매듭의 분해와 3차원 공간

연결합과 소매듭

방향을 정한 두 매듭을 서로 떨어뜨려 그린다. 각 그림의 바깥쪽에 있는 짧은 호를 하나씩 제거하고, 새 교차가 생기지 않도록 방향에 맞게 이어 붙이면 연결합 $K_{1}\mathbin {\#} K_{2}$를 얻는다. 이 연산은 매듭의 동치류에서 결합법칙과 교환법칙을 만족하며, 풀린매듭과 연결합을 취해도 매듭의 종류는 변하지 않는다. 풀린매듭이 아닌 두 매듭의 연결합으로 나타낼 수 있으면 합성 매듭이라고 한다. 풀린매듭이 아니면서 이렇게 분해할 수 없는 매듭은 소매듭이라고 한다.

풀린매듭이 아닌 모든 유향 매듭은 유한 개의 소매듭의 연결합으로 나타낼 수 있다. 소매듭들의 순서를 제외하면 이 분해는 유일하다. 따라서 소매듭의 분류는 전체 매듭을 분류하는 기초가 된다.

꼬임과 매듭

 이 부분의 본문은 꼬임군 (위상수학)입니다.

높이가 다른 두 평행한 평면에 각각 $n$개의 끝점을 고정하고, 위쪽과 아래쪽 끝점들을 $n$개의 가닥으로 잇는다. 가닥들이 서로 만나지 않고 높이가 한 방향으로만 변하도록 놓은 배치를 꼬임이라고 한다. 끝점을 고정한 채 꼬임의 조건을 유지하며 서로 옮길 수 있는 꼬임은 같게 본다. 두 꼬임을 위아래로 쌓는 연산을 동치류에 정의하면 꼬임군 $B_{n}$을 얻는다.

아래쪽 끝점을 대응하는 위쪽 끝점과 꼬임 바깥에서 연결한 것을 꼬임의 폐포라고 한다. 폐포는 매듭 또는 여러 성분의 연환이 된다. 알렉산더 정리에 따르면 모든 연환은 어떤 꼬임의 폐포로 나타낼 수 있다.

서로 다른 꼬임도 폐포를 취하면 같은 연환이 될 수 있다. 마르코프 정리에 따르면, 방향을 정한 두 폐포가 동치일 필요충분조건은 켤레 변환과 안정화·역안정화를 유한 번 적용하여 두 꼬임을 서로 옮길 수 있는 것이다. 안정화는 가닥 하나를 추가하고 이 가닥과 기존 가닥 사이에 양 또는 음의 교차를 하나 만드는 연산이며, 역안정화는 이를 되돌리는 연산이다.

여공간과 기하 구조

매듭 $K$의 여공간은 3차원 초구에서 매듭 자체를 제거한 $S^{3}\setminus K$이다. 3차원 초구에서 매듭을 둘러싼 작은 닫힌 관 모양의 근방 $N(K)$의 내부를 제거한 공간을 매듭의 외부(영어: exterior)라고 한다. $$E(K)=S^{3}\setminus \operatorname {int} N(K).$$ 외부는 원환면을 경계로 갖는 콤팩트 3차원 다양체이며, 그 내부는 여공간과 위상동형이다.

매듭 여공간 정리에 따르면, 두 매듭의 여공간 사이에 주변 공간의 방향을 보존하는 위상동형사상이 존재하면 두 매듭은 동치이다. 이 정리에서는 매듭 자체의 진행 방향을 구별하지 않는다.

소매듭은 여공간의 성질에 따라 다음 세 부류로 나뉜다.

• 원환면 매듭: 풀린매듭을 둘러싼 관 모양 근방의 경계인 원환면 위에 놓을 수 있는 매듭이다.
• 위성 매듭(영어: satellite knot): 외부에 압축 불가능하며 경계와 평행하지 않은 원환면이 매장되어 있는 매듭이다.
• 쌍곡 매듭(영어: hyperbolic knot): 여공간에 곡률이 일정하게 $-1$이고 완비이며 부피가 유한한 쌍곡 기하 구조를 줄 수 있는 매듭이다.

쌍곡 매듭의 기하 구조는 등거리 변환을 제외하면 유일하므로, 여공간의 쌍곡 부피는 매듭의 불변량이다. 예를 들어 8자 매듭(영어: figure-eight knot)의 여공간은 꼭짓점이 무한원에 놓인 두 개의 쌍곡 정사면체로 나뉜다. 그 쌍곡 부피는 약 $2.02988$이다.

수술과 3차원 다양체

3차원 초구에서 매듭이나 연환을 둘러싼 관 모양 근방의 내부를 제거한 뒤, 경계에 입체 원환면을 새로 붙이면 다른 3차원 다양체를 얻을 수 있다. 이를 덴 수술(영어: Dehn surgery)이라고 한다. 입체 원환면을 붙이는 방식은 그 자오선이 경계 원환면의 어느 단순 닫힌 곡선과 이어지는지로 정한다. 경계가 없고 콤팩트하며, 연결되고 방향 가능한 모든 3차원 다양체는 $S^{3}$ 안의 연환에 수술을 하여 얻을 수 있다. 따라서 연환 그림을 이용하여 3차원 다양체를 구성하고 연구할 수 있다.

매듭표와 판정 문제

풀린매듭과 교차수가 7 이하인 소매듭의 그림. 거울상 쌍에서는 한쪽만 나타냈다.

매듭표는 소매듭을 교차수별로 모아 놓은 것이다. 매듭에 진행 방향을 지정하지 않고, 거울상은 따로 세지 않는 관례가 흔히 쓰인다. 널리 쓰이는 표기 $c_{i}$에서 $c$는 교차수이고, $i$는 교차수가 같은 매듭들에 붙인 순번이다. 세잎매듭은 $3_{1}$, 8자 매듭은 $4_{1}$로 나타낸다.

두 그림이 같은 매듭을 나타내는지 유한 시간 안에 판정하는 알고리즘은 알려져 있다. 다만 계산을 마칠 수 있다는 사실만으로 계산 시간이 짧다고 할 수는 없다. 가능한 라이데마이스터 변형을 차례로 시도하여 두 그림을 연결하려 하면, 필요한 변형의 횟수와 탐색할 경우의 수가 매우 커질 수 있다.

매듭 판정에는 정규 곡면(영어: normal surface)을 이용하는 방법이 있다. 먼저 매듭 외부를 유한 개의 사면체로 나눈다. 정규 곡면은 각 사면체 안에서 정해진 형태의 삼각형과 사각형 조각으로 이루어진다. 조각의 종류별 개수를 정수로 기록하면 곡면의 존재 여부를 방정식과 제약 조건으로 다룰 수 있다. 이웃한 사면체에서 조각들의 경계가 맞아야 한다는 조건은 일차방정식으로 나타내며, 조각끼리 교차하지 않도록 별도의 제약을 둔다. 이를 이용하여 매듭이 풀려 있는지, 외부에 특정 곡면이 존재하는지 등을 조사한다.

풀린매듭 판정 문제는 복잡도 종류 $\mathrm {NP} \cap \mathrm {coNP}$에 속한다. 풀린매듭인 경우와 아닌 경우 모두, 그 사실을 입증하는 자료가 주어지면 입력 크기에 대한 다항 시간 안에 검증할 수 있다는 뜻이다. 이러한 자료를 빠르게 찾는 것은 별개의 문제이다. 일반적인 입력에서 풀린매듭 여부를 다항 시간 안에 판정하는 알고리즘이 존재하는지는 알려져 있지 않다.

호몰로지와 4차원에서의 매듭

호몰로지 불변량

매듭 다항식을 호몰로지 이론으로 확장한 불변량도 연구된다. 호바노프 호몰로지(영어: Khovanov homology)는 매듭에 차수별로 나뉜 호몰로지 군을 대응시킨다. 유리수 계수의 축소 호바노프 호몰로지에서 각 차수의 차원에 변수의 거듭제곱과 부호를 붙여 더하면 존스 다항식을 얻는다. 호몰로지에는 이처럼 다항식으로 합산하기 전의 차수별 정보가 남는다.

호바노프 호몰로지는 풀린매듭을 다른 모든 매듭과 구별한다. 유리수 계수의 축소 호바노프 호몰로지에서 차수별 차원을 모두 더한 값이 1일 필요충분조건은 그 매듭이 풀린매듭인 것이다.

매듭 플뢰어 호몰로지(영어: knot Floer homology)도 차수별 정보를 가지며, 이 정보에서 알렉산더 다항식을 복원할 수 있다. 매듭 플뢰어 호몰로지는 자이페르트 종수도 결정한다.

단면 매듭과 동계성

3차원 초구 $S^{3}$를 4차원 공 $B^{4}$의 경계로 보면, 매듭이 공 안에 놓인 곡면의 경계가 되는지를 연구할 수 있다. 매듭 $K$가 $B^{4}$에 매끄럽게 매장된 원판의 경계이면 매끄러운 단면 매듭(영어: smoothly slice knot)이라고 한다. 원판의 내부는 공의 내부에 놓이고, 공의 경계와는 $K$에서만 만난다. 세잎매듭과 그 거울상의 연결합은 풀린매듭이 아니지만 단면 매듭이다.

매끄러운 매장 대신 국소적으로 평탄한 위상적 매장을 허용하면 위상적 단면 매듭을 얻는다. 국소적 평탄성이란 원판의 내부점 근처에서 주변 공간과 원판의 쌍이 4차원 공간과 평면의 쌍에 위상동형이라는 조건이다. 경계점에서는 이에 대응하는 반공간 모형을 사용한다. 위상적 단면 매듭이면서 매끄러운 단면 매듭은 아닌 예도 있다.

두 매듭을 각각 $S^{3}\times \{0\}$과 $S^{3}\times \{1\}$에 놓는다. 두 매듭을 경계로 하는 원통면 $S^{1}\times [0,1]$을 $S^{3}\times [0,1]$에 매장할 수 있고, 원통면의 내부가 $S^{3}\times (0,1)$에 놓이면 두 매듭은 동계(영어: concordant)라고 한다. 매끄러운 매장을 사용하는지, 국소적으로 평탄한 위상적 매장을 사용하는지에 따라 두 종류의 동계 관계를 얻는다. 각각의 경우 매듭이 단면 매듭일 필요충분조건은 풀린매듭과 동계인 것이다. 방향을 정한 매듭에 대해 방향과 양립하는 동계를 사용하면, 동계류들은 연결합에 대해 군을 이루며, 역원은 거울상의 방향을 뒤집어 얻는다.

다른 분야와의 관계

DNA의 위상

DNA의 긴 이중 나선은 공간 안에서 휘거나 서로 얽힐 수 있다. 원형 DNA를 매듭으로 나타낼 때에는 이중 나선 전체의 중심선을 하나의 닫힌 곡선으로 본다. 일부 효소는 DNA를 일시적으로 절단하여 다른 부분을 통과시키거나, 절단한 끝을 다시 연결한다. 이러한 작용으로 DNA가 이루는 매듭과 연환의 종류가 달라질 수 있다.

효소가 작용하는 작은 영역 안에서만 곡선이 바뀌고 바깥 부분은 그대로 남는 모형을 사용하면, 반응 전후의 매듭을 비교하여 효소의 작용을 연구할 수 있다. 예를 들어 재조합 효소의 작용으로 생긴 매듭과 연환을 조사하면, 반응 영역 안에서 가닥들이 어떻게 놓여 있었고 어떻게 다시 연결되었는지 가능한 경우를 좁힐 수 있다.

양자장론과 양자 계산

양자장론의 3차원 천–사이먼스 이론에서는 닫힌 경로에 대응하는 관측량인 윌슨 고리가 매듭 불변량과 연결된다. 그 기댓값을 적절한 조건과 정규화 아래에서 계산하면 존스 다항식과 같은 불변량을 얻는다. 이때 각 곡선을 따라 가느다란 띠가 놓이는 방향도 정해야 한다. 이러한 관계를 통해 매듭 다항식을 장 이론으로 해석하고, 3차원 다양체의 불변량으로 확장할 수 있다.

위상 양자 계산에서는 평면 위를 움직이는 입자들의 궤적을 시간축과 함께 나타내면 꼬임이 된다. 특정한 비가환 애니온 모형에서는 입자를 교환하는 방식에 따라 양자 상태에 서로 다른 연산이 작용한다. 이러한 연산을 조합하여 양자 논리 게이트를 구성하며, 이를 수학적으로 기술하는 데 꼬임군의 표현을 이용한다.

역사

1771년 알렉상드르테오필 방데르몽드는 매듭과 꼬임을 실의 길이나 크기보다 서로 얽힌 위치 관계의 문제로 다루었다. 카를 프리드리히 가우스는 1833년의 기록에서 두 닫힌 곡선의 연환수를 적분으로 정의했다.

19세기 후반 켈빈은 원자를 유체 속의 매듭진 소용돌이로 설명하려 했다. 1867년에 제시한 이 모형은 매듭의 분류를 연구하는 계기가 되었다. 피터 거스리 테이트를 비롯한 연구자들은 교차점 수에 따라 매듭 그림을 모아 표를 만들었다. 소용돌이 원자 모형은 받아들여지지 않았지만, 매듭의 표 작성과 분류는 수학의 연구 주제로 남았다.

20세기에는 대수적 위상수학을 이용하여 매듭을 구별하는 연구가 발전했다. 매듭 여공간의 기본군을 조사하는 방법이 정착했고, 1928년에는 알렉산더 다항식이 도입되었다. 이로써 매듭 그림이나 여공간에서 계산한 대수적 불변량을 비교하는 연구가 이루어졌다.

윌리엄 서스턴은 매듭 여공간의 쌍곡 기하를 3차원 다양체의 분해와 연결하여 연구했다. 1984년에는 존스 다항식이 발견되었으며, 그 결과는 이듬해 발표되었다. 이후 매듭 불변량을 양자장론으로 해석하는 연구와, 다항식을 호몰로지 이론으로 확장하는 연구가 발전했다.

같이 보기

• 기하학적 위상수학
• 저차원 위상수학
• 매듭 불변량
• 꼬임군 (위상수학)

참고 문헌

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