원 (기하학)

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기하학에서, (圓, 영어: circle)은 평면 위의 한 에 이르는 거리가 일정한 평면 위의 점들의 집합으로 정의되는 도형이다. 이러한 점을 원의 중심이라고 하고, 중심과 원 위의 점을 잇는 선분 또는 이들의 공통된 길이를 원의 반지름이라고 한다.

원은 이차 곡선의 일종인 타원에서 이심률이 0인 경우이다.

용어[편집]

원과 그 위의 반지름, 지름, 현, 호
현, 지름, 반지름, 할선, 접선
원과 그 위의 호, 활꼴, 부채꼴
호, 활꼴, 부채꼴

원과 관련된 기본적인 용어들은 다음과 같다.

  • 단위원: 반지름이 1인 원
  • 동심원: 중심이 같은 두 원
  • 반원: 중심각이 평각인 부채꼴(활꼴)
  • 반지름: 원의 중심과 그 원 위의 을 잇는 선분 또는 그 선분의 길이. 반지름의 길이는 지름의 2배이다.
  • 부채꼴: 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역
  • 사분원: 중심각이 직각인 부채꼴
  • 원주: 원의 둘레
  • 원주각: 한 끝점을 공유하는 두 현이 원 내부에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 중심각의 1/2이다.
  • 원판: 원으로 둘러싸인 도형
  • 원환: 두 동심원으로 둘러싸인 도형
  • 접선: 원과 한 점에서 만나는 직선
  • 접현각: 원의 현과 현의 한 끝점에서의 접선이 이루는 각
  • 중심: 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점
  • 중심각: 호의 두 끝점을 지나는 반지름이 호와 같은 쪽에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 원주각의 2배이다.
  • 지름: 원의 중심을 지나는 현 또는 그 길이. 길이는 반지름의 1/2이다.
  • 켤레호: 원의 합하여 원주 전체를 이루는 두 호
  • 할선: 원과 두 점에서 만나는 직선
  • : 원 위의 두 점을 잇는 선분
  • : 원의 일부가 되는 곡선
  • 활꼴: 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역

역사[편집]

기원전 5세기경 안티폰은 정다각형의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 니콜라우스는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.

해석적 성질[편집]

둘레와 넓이[편집]

원의 넓이는 회색 부분의 넓이의 π배이다.
반지름의 길이가 인 원은 무한히 작은 부채꼴들로 쪼개어 가로 길이 , 세로 길이 의 직사각형을 만들 수 있다.

어떤 원의 반지름의 길이를 라고 하고, 지름의 길이를 라고 하면, 원의 둘레

이다. 여기서 원주율이다. 이는 약 3.1415…를 값으로 하는 초월수이다.

어떤 원의 반지름의 길이를 라고 하고, 지름의 길이를 라고 하고, 둘레를 라고 하면, 원(으로 둘러싸인 도형)의 넓이

이다. 등주 부등식에 따르면, 이는 둘레가 인 닫힌 곡선으로 둘러싸인 도형이 가질 수 있는 최대 넓이이다.

방정식[편집]

직교 좌표계[편집]

중심이 (2, 1)이고 반지름이 3인 원

2차원 직교 좌표계 위의 중심이 이고 반지름이 인 원의 방정식은

이다.[1]:22, §3 이는 피타고라스 정리를 통해 유도된다.

2차원 직교 좌표계 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은

이다. 단, 실수이며,

이어야 한다.[1]:23, §3.2 좌변은 반지름의 4배에 대응하며, '=0'일 경우 한원소 집합이 되고, '<0'일 경우 공집합이 된다.[1]:24, §3.2, Example 3.2

평면 위의 모든 원은 적절한 직교 좌표계를 취했을 때

와 같은 표준적인 방정식으로 표현된다. 단, 이어야 한다. 이러한 꼴의 방정식을 얻으려면 원의 중심을 좌표계의 원점으로 삼기만 하면 된다.

2차원 직교 좌표계 위의 중심이 이고 반지름이 인 원은 다음과 같은 매개변수 방정식을 갖는다.[1]:23, §3.2, (3.5)

여기서 은 각각 코사인 함수사인 함수이고, 는 매개 변수이다.

극좌표계[편집]

직교 좌표 대신 극좌표 를 사용할 수도 있다. 즉, 극좌표계 위의 중심이 이고 반지름이 인 원의 방정식은

이다.

복소평면[편집]

직교 좌표나 극좌표를 복소수 로 대신하면, 원과 직선의 통일된 방정식을 얻을 수 있다.

복소평면 위에서, 중심이 이고 반지름이 인 원의 방정식은

이다. 여기서 는 복소수의 절댓값이다.

또한 복소평면 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은

이다. 여기서 켤레 복소수이다. 단, 실수이고, 는 복소수이며,

이어야 한다. 또한, 대신 을 취하고 다른 조건을 그대로 두면 복소평면 위의 직선의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다. 즉, 이라는 조건을 제거하고 다른 조건을 그대로 두면 일반화 원의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다.

접선의 방정식[편집]

2차원 직교 좌표계 위에서, 원

을 접점으로 하는 접선의 방정식은

이다.

의 기울기가 인 접선의 방정식은

이다.

기하적 성질[편집]

대칭[편집]

  • 원은 지름에 대한 반사와 원의 중심에 대한 회전에 대하여 대칭이다.[2]:227, §20.1, Theorem 20.3
    • 즉, 원의 대칭군은 2차원 직교군 이다.
  • 임의의 두 원은 서로 중심닮음이며, 동심원이 아닐 경우 두 원의 중심을 잇는 선분의 반지름의 비에 따른 내분점 및 외분점을 중심닮음의 중심으로 갖는다.[3]:19, §25
  • 반지름의 길이가 같은 모든 원은 서로 합동이다.[4]:23, §1F
  • 공선점이 아닌 세 점을 지나는 원은 항상 유일하게 존재한다.[4]:23, §1F, Theorem 1.15

호와 현[편집]

  • 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다.[2]:227, §20.1, Theorem 20.2
    • 즉, 현에 수직인 지름은 현을 이등분한다.[2]:227, §20.1, Theorem 20.2
    • 즉, 지름이 아닌 현을 이등분하는 지름은 현에 수직이다.[2]:227, §20.1, Theorem 20.2
  • 지름은 원의 가장 긴 현이다.[4]:23, §1F
  • (방멱 정리) 원 위에 있지 않은 점 를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 점 에서 만나고, 다른 하나는 원과 점 에서 만난다고 하면, 이다.[4]:47, §1H, Theorem 1.35
  • 원 위의 점과 현 사이의 거리와 지름의 곱은 점과 현의 양 끝점 사이의 거리의 곱과 같다.[3]:71, §101

원과 직선의 위치 관계[편집]

평면 위의 원과 직선의 위치 관계는 원의 중심에서 직선까지의 거리 와 원의 반지름 의 대소 관계에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.

  • 만약 라면, 원과 직선은 만나지 않는다.
  • 만약 라면, 원과 직선은 한 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 접선이다.
  • 만약 라면, 원과 직선은 두 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 할선이다.

두 원의 위치 관계[편집]

두 원의 위치 관계는 두 원의 반지름 와 두 중심 사이의 거리 에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.

  • 만약 이거나 라면, 두 원은 만나지 않는다.
    • 만약 라면, 두 원은 서로의 외부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다.
    • 만약 라면, 작은 원은 큰 원의 내부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다.
  • 만약 이거나 라면, 두 원은 한 점에서 만난다. 즉, 두 원은 서로 접한다.
    • 만약 라면, 두 원은 서로의 외부에서 접한다. 즉, 두 원은 외접한다.
    • 만약 라면, 작은 원이 큰 원의 내부에서 큰 원에 접한다. 즉, 두 원은 내접한다.
  • 만약 라면, 두 원은 두 점에서 만난다.

중심각과 원주각[편집]

  • 주어진 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 1/2이다.[4]:25, §1F, Theorem 1.16
  • 같은 호에 대한 두 원주각의 크기는 서로 같다.[4]:25, §1F
  • 켤레호에 대한 두 중심각은 서로 보각이다.
  • (탈레스 정리) 지름에 대한 원주각은 직각이다.
  • 원의 두 현이 원 내부에서 이루는 각의 크기는 이 각과 맞꼭지각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 합의 1/2이다.[4]:27, §1F, Corollary 1.19
  • 원의 두 할선이 원 외부에서 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 차의 1/2이다.[4]:27, §1F, Corollary 1.18

접선[편집]

  • 원 위의 한 점을 지나는 원의 접선은 유일하게 존재하고, 이는 이 점을 지나는 반지름에 수직이다.[2]:228, §20.1, Theorem 20.4[4]:30-31, §1F
    • 즉, 반지름의 반지름 끝점에서의 수선은 원에 접한다.[2]:228, §20.1, Theorem 20.4
    • 즉, 원의 접선의 접점에서의 수선은 원의 중심을 지난다.
  • 원 외부의 한 점을 지나는 원의 접선은 정확히 2개이고, 이 점과 두 접점 사이의 거리는 같으며, 두 접선이 이루는 각과 두 접점을 지나는 반지름이 이루는 각은 서로 보각이다.
  • 원의 접현각의 크기는 현을 기준으로 이와 같은 쪽에 있는 호에 대한 중심각의 1/2이다.[4]:31, §1F, Theorem 1.23
  • 원의 접선과 할선이 원 외부에서 이루는 각은 각의 내부에 포함된 두 호의 중심각의 차의 1/2이다.[4]:31, §1F, Corollary 1.24
  • 외접하는 두 원의 교점을 지나는 두 공통 할선 사이의 두 현은 서로 평행한다.[4]:31, §1F, Problem 1.25
  • (접선에 대한 방멱 정리)원 외부의 점 를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 에서 만나고, 하나는 원에 점 에서 접한다고 하면, 이다.

원의 직교[편집]

  • 두 원의 교점에서의 두 접선이 서로 수직일 경우 두 원이 서로 직교한다고 한다.[3]:33, §48
  • 두 원의 반지름이 이고, 두 중심 사이의 거리가 라고 할 때, 두 원이 서로 직교할 필요충분조건은 이다.[3]:34, §48
  • 주어진 원에 직교하고 중심이 원 외부의 주어진 점인 원은 유일하게 존재한다.[3]:34, §48
  • 주어진 원에 직교하고 원의 지름이 아닌 현의 두 끝점을 지나는 원은 유일하게 존재한다.[3]:34, §48

작도[편집]

공선점이 아닌 세 점을 지나는 원[편집]

공선점이 아닌 세 점 를 지나는 원은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 작도할 수 있다.

  • 선분 수직 이등분선을 그린다.
  • 선분 의 수직 이등분선을 그린다.
  • 선분 의 교점 를 취한다.
  • 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 원을 그린다. 이 경우 원은 점 를 지난다.

원의 중심[편집]

주어진 원의 중심은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 작도할 수 있다.

  • 원 위의 두 점 을 취한다.
  • 선분 의 점 에서의 수선 를 그린다.
  • 직선 와 원의 교점 를 취한다. 이 경우 선분 는 원의 지름이다.
  • 또 다른 지름 을 작도한다.
  • 선분 의 교점 를 취한다. 이 경우 점 는 원의 중심이다.

원적 문제[편집]

원적 문제는 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 컴퍼스와 자로 작도하는 문제를 일컫는다. 이는 원주율 초월수이므로 불가능하다.

기타 관련 주제[편집]

내접원, 외접원, 방접원[편집]

모든 삼각형은 유일한 내접원외접원과 정확히 3개의 방접원을 갖는다. 그러나, 일반적으로 다각형은 내접원이나 외접원을 가질 필요가 없다. 어떤 다각형이 모든 변에 접하는 원을 가질 경우, 이 다각형을 외접 다각형이라고 한다. 어떤 다각형이 모든 꼭짓점을 지나는 원을 가질 경우, 이 다각형을 내접 다각형이라고 한다. 동시에 외접 다각형이며 내접 다각형인 다각형을 이중중심 다각형이라고 한다. 예를 들어, 모든 삼각형과 모든 정다각형은 이중중심 다각형이다.

주어진 원의 내접 각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 정각형이다.[4]:35, §1G

문학[편집]

  • 에드윈 A. 애보트의 공상 수학 소설 《플랫랜드》에서는 원이 성직자로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Gibson, C. G. (2003). 《Elementary Euclidean geometry》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83448-3. 
  2. Martin, George E. (1975). 《The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4612-5727-1. doi:10.1007/978-1-4612-5725-7. 
  3. Johnson, Roger A. (2007) [1960]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications. ISBN 978-0486462370. 
  4. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.