원 (기하학)

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유클리드 기하학에서 (圓) 또는 동그라미는 한 에 이르는 거리가 일정한 평면 위의 점의 집합으로 정의되는 평면도형이다. 한편 임의의 직원뿔에 대하여 그 직원뿔과 그 직원뿔의 밑면에 평행한 평면의 교선은 원으로 원은 원뿔 곡선의 일종이다. 또 원의 이심률은 0이다.

용어[편집]

반지름,지름,현,호
활꼴,부채꼴
  • 원의 중심: 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점
  • : 원 위의 두 점을 양끝으로 하는 선분
  • 원의 반지름: 원의 중심과 그 원 위의 을 양끝으로 하는 선분 또는 그 선분의 길이
  • 원의 지름: 원의 중심을 지나는 현 또는 그 현의 길이
  • 원주: 원의 둘레
  • 원호: 원주의 연속된 일부
  • 활꼴: 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역
  • 부채꼴: 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역
  • 반원: 중심각이 평각인 부채꼴(활꼴)
  • 원주각: 원주 상의 한 점에서 다른 두 점으로 선분의 끼인각이다. 원주각을 마주보는 현을 갖는 부채꼴의 중심각은 원주각의 두 배이다.
  • 원의 접선: 원과 한 점에서 만나는 직선
  • 할선: 원과 두 점에서 만나는 직선
  • 원판: 원으로 둘러싸인 도형

둘레와 넓이[편집]

원넓이.gif

  • 반지름의 길이가 인 원의 둘레는 이다.
  • 반지름의 길이가 인 원의 넓이는 이다.
  • 지름의 길이가 인 원의 넓이는 이다.
  • 넓이가 인 원의 둘레는 이다.
  • 둘레가 인 원의 넓이는 이다.
  • 원은 폐곡선 중에서 둘레에 대한 넓이의 비가 가장 크다.

내접원[편집]

어떤 도형에 내접하는 원을 그 도형의 내접원이라 하고 내접원의 중심을 내심이라고 한다.

임의의 삼각형에 대하여 그 삼각형의 내접원은 유일하고 그 삼각형의 내심은 그 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이다.

외접원[편집]

어떤 도형에 외접하는 원을 그 도형의 외접원이라 하고 외접원의 중심을 외심이라고 한다.

임의의 삼각형에 대하여 그 삼각형의 내접원은 유일하고 그 삼각형의 외심은 그 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다.

방접원[편집]

어떤 도형에 방접하는 원을 그 도형의 방접원이라 하고 방접원의 중심을 방심이라고 한다.

임의의 삼각형에 대하여 그 삼각형의 방접원은 3개이고 그 삼각형의 방심은 그 삼각형의 한 내각의 이등분선과 그 삼각형의 그 각과 다른 한 내각의 외각의 이등분선의 교점이다.

단위원[편집]

반지름이 1인 원을 단위원이라고 한다. 특별히 해석기하학에서는 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 단위원이라고 한다.

동심원[편집]

중심이 같은 원을 동심원이라고 한다. 동심원을 한중심원이라고도 한다.

사분원[편집]

직교하는 두 지름으로 4등분된 원의 한 조각.

원의 방정식[편집]

2차원 직교 좌표계에서 가 원의 중심이고 이 반지름인 원

2차원 직교 좌표계에서 원의 중심이이고 반지름이 인 원의 방정식은

이고, 이를 원의 방정식이라고 부른다.

이는 원의 중심에서 원주상의 임의의 한 점 까지의 거리가 항상 같음을 이용해 서로 다른 두 점 사이의 거리 공식으로 유도한 것이다.

원을 호도각에 따른 매개변수 t로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

,

접선의 방정식[편집]

  • 에 접하고 원 밖의 한 점 을 지나는 직선의 방정식은 이다.
  • 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식은 이다.

원의 극방정식[편집]

극좌표계에서 원의 중심이 이고 반지름인 원은

이고, 이를 원의 극방정식 이라고 한다.

원과 직선의 위치 관계[편집]

원의 중심에서 직선까지의 거리()와 반지름()의 대소 관계에 따라 교점의 개수를 판단 할 수 있다.

두 점에서 만날 경우[편집]

원과 직선이 두 점에서 만날 경우 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이보다 작다

한 점에서 만날 경우[편집]

원과 직선이 한 점에서 만날 경우, 접한다고 표현하며, 이 때 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 길이는 같다.

만나지 않을 경우[편집]

원과 직선이 만나지 않을 경우 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이보다 크다.

, 두 점에서 만날 경우
, 접할 경우
, 만나지 않을 경우

두 원의 위치 관계[편집]

두 원의 반지름과, 중심 사이의 거리에 따라 두 원의 위치 관계를 판단 할 수 있다.

두 점에서 만날 경우[편집]

두 원이 두 점에서 만날 경우, 중심 사이의 거리는 두 반지름의 합보다는 작고, 두 반지름의 차보다는 크다.

한 점에서 만날 경우[편집]

두 원이 한 점에서 만날 경우, 접한다고 표현하며, 두 원이 서로 외부에 있을 때 외접, 한 원이 다른 원의 내부에 있을 때 내접이라고 한다.

  • 외접할 경우

두 원이 외접할 경우, 두 반지름의 합은 중심 사이의 거리와 같다.

  • 내접할 경우

두 원이 내접할 경우, 두 반지름의 차는 중심 사이의 거리와 같다.

만나지 않을 경우[편집]

  • 한 원이 다른 원의 내부에 포함 될 경우

한 원이 다른 원의 내부에 포함 될 경우, 두 반지름의 차는 중심 사이의 거리보다 크다.

  • 두 원이 서로 외부에 있을 경우

두 원이 서로 외부에 있을 경우, 두 반지름의 합은 중심 사이의 거리보다 작다.

기타 성질[편집]

  • 원주상의 한 점에서 원의 중심까지 잇는 선분과, 그 점의 접선은 수직이다.

반지름과접선의각.PNG

  • 중심각은 원주각의 2배이다.

중심각과원주각.PNG

  • 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다. 밑의 그림에서 가 성립한다.

중심각과호의관계.PNG

  • 지름의 원주각은 90˚이다. 따라서 지름을 빗변으로 하는 내접삼각형은 항상 직각삼각형이다.

지름의원주각.PNG

  • 켤레호[1]의 원주각의 합은 이다. 따라서 내접사각형에서 마주보는 두 각의 합은 이다. 아래의 그림에서 가 성립한다.

켤레호의원주각.PNG

  • 내접사각형의 한 각과, 그 각의 대각의 외각의 크기는 서로 같다.

내접사각형의외각.PNG

  • 원주상의 같은 점을 지나는 접선과 현의 끼인각은, 현을 기준으로 그 각과 같은 쪽에 있는 호의, 원주각의 크기와 같다.

접선과원주각.PNG

1.

현과비례.PNG

2.

현과비례2.PNG

역사[편집]

기원전 5세기경 안티폰은 정다각형의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 니콜라우스는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.

문학[편집]

  • 에드윈 A. 애보트의 공상 수학 소설 《플랫랜드》에서는 원이 성직자로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 합해서 원주를 이루는 두 개의 호를 켤레호라 한다.