합동 (기하학)

왼쪽 두 도형은 합동이고, 왼쪽 세번째도형은 닮음이다. 마지막 도형은 나머지와 닮음도 합동도 아니다.

기하학에서 합동(合同, Congruence)은 두 도형이 모양과 크기가 같음을 나타내는 관계이다. 즉, 두 도형을 점집합으로 생각할 때, 하나에 어떤 등거리 변환에 대한 상을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 두 도형이 합동이라고 한다. 서로 합동인 도형은 서로 닮음이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

정의

등거리 변환은 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환이다.

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 두 도형 $M,N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$이 다음 조건을 만족시키면, $M,N$이 합동이라고 한다.

• $N=I(M)$인 등거리 변환 $I\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$이 존재한다.

도형의 합동은 동치 관계를 이룬다. 도형의 합동은 닮음에서 닮음비가 1인 특수한 경우다.

성질

삼각형의 합동

평면 삼각형은 합동 조건 SAS, ASA, AAS를 갖지만, 합동 조건 SSA를 갖지 않는다.

두 삼각형이 합동이라면, 이 두 삼각형의 세 쌍의 변(의 길이) 및 세 쌍의 각(의 크기)은 각각 같다. 각 쌍의 변을 대응변(對應邊, 영어: corresponding sides)이라고 하며, 각 쌍의 각을 대응각(對應角, 영어: corresponding angles)이라고 한다.

삼각형 $ABC$와 삼각형 $DEF$의 합동은 기호로 다음과 같이 나타낸다.

$\triangle ABC\cong \triangle DEF$

단, 같은 위치의 $A$와 $D$, $B$와 $E$, $C$와 $F$는 대응점이어야 한다.^:5

두 삼각형 $ABC,DEF$가 합동일 몇 가지 충분 조건은 다음과 같다.

• SSS(변변변): 만약 $AB=DE$, $AC=DF$, $BC=EF$라면, $\triangle ABC\cong \triangle DEF$이다. 즉, 두 삼각형의 세 쌍의 대응변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
• SAS(변각변): 만약 $AB=DE$, $AC=DF$, $\angle A=\angle D$라면, $\triangle ABC\cong \triangle DEF$이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
• ASA(각변각): 만약 $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $AB=DE$라면, $\triangle ABC\cong \triangle DEF$이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
• AAS(각각변): 만약 $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $BC=EF$라면, $\triangle ABC\cong \triangle DEF$이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 아닌 변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
• RHS: 만약 $\angle C=\angle F=90^{\circ }$, $AB=DE$, $AC=DF$라면, $\triangle ABC\cong \triangle DEF$이다. 즉, 두 직각 삼각형의 빗변과 한 직각변이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.
• RHA: 만약 $\angle C=\angle F=90^{\circ }$, $AB=DE$, $\angle B=\angle E$라면, $\triangle ABC\cong \triangle DEF$이다. 즉, 두 직각 삼각형의 빗변과 한 예각이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.

그러나, 다음 조건 가운데 하나를 만족시키는 두 삼각형 $ABC,DEF$는 합동일 필요가 없다.

• SSA(변변각): 만약 $AB=DE$, $BC=EF$, $\angle C=\angle F$이더라도, $\triangle ABC\ncong \triangle DEF$일 수 있다. 즉, 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 아닌 한 쌍의 각이 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만, 이 각이 직각일 경우, RHS에 따라 합동이다.
• AAA(각각각): 만약 $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$이더라도, $\triangle ABC\ncong \triangle DEF$일 수 있다. 즉, 세 쌍의 대응각기 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만 이 경우 두 삼각형은 서로 닮음이다.

구면기하학의 경우

평면 삼각형과 달리, 구면 삼각형은 합동 조건 AA를 가지며, 합동 조건 AAS를 갖지 않는다.